《剑指offer》– 斐波那契数列、跳台阶问题 、变态跳台阶问题、矩阵覆盖

一、斐波那契数列：

1、题目：
现在要求输入一个整数n，请你输出斐波那契数列的第n项(从0开始，第0项为0).n<=39。

2、什么是斐波那契数列？

斐波那契数列指的是这样一个数列： 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ……，可以观察到，从第3个数开始，每个数的值都等于前连个数之和。

3、解题思路：

这里可以使用递归的方法实现，但是递归的方式的时间复杂是输入规模的指数级别，不建议使用，因此这里采用迭代的方法实现。

4、代码实现：

	 public static int Fibonacci(int n) {
		    if(n<=0){
		        return 0;
		    }
		    
		    int first,second,result;
		    first=0;second=1;result=1;
		    if(n==1){
		        return n;
		    }      
		    for(int i=2;i<=n;i++){
		        result=first+second;
		        first=second;
		        second=result;
		    }       
		    return result;
		}

二、跳台阶问题：

1、题目：

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法（先后次序不同算不同的结果）。

2、解题思路：

（1）可以考虑，小青蛙每一步跳跃只有两种选择：一是再跳一级阶梯到达第 i 级阶梯，此时小青蛙处于第 i-1 级阶梯；或者再跳两级阶梯到达第 i 级阶梯，此时小青蛙处于第 i-2 级阶梯。

（2）于是，i级阶梯的跳法总和f(i)依赖于前 i-1 级阶梯的跳法总数f(i-1)和前 i-2 级阶梯的跳法总数f(i-2)。因为只有两种可能性，所以，f(i)=f(i-1)+f(i-2);

（3）通过上面的分析，我们可以很清晰地看到，这其实就是一个Fibonacci数列。

3、代码实现：

public int JumpFloor(int target) {
        if(target<1){
            return 0;
        }else if(target<2){
            return target;
        }else{
             int first=0,second=1,result=1;
             for(int i=2;i<=target;i++){
                 first=second;
                 second=result;
                 result=first+second;
             }
            return result;
        }      
    }

三、变态跳台阶问题：

本部分参考博客：https://blog.csdn.net/friendbkf/article/details/50060239

1、题目：

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法？

2、问题分析：

分析：用Fib(n)表示跳上n阶台阶的跳法数。如果按照定义，Fib(0)肯定需要为0，否则没有意义。但是我们设定Fib(0) = 1；n = 0是特殊情况，通过下面的分析就会知道，强制令Fib(0) = 1很有好处。ps. Fib(0)等于几都不影响我们解题，但是会影响我们下面的分析理解。

当n = 1 时， 只有一种跳法，即1阶跳：Fib(1) = 1;

当n = 2 时， 有两种跳的方式，一阶跳和二阶跳：Fib(2)  = 2;

到这里为止，和普通跳台阶是一样的。

当n = 3 时，有三种跳的方式，第一次跳出一阶后，对应Fib(3-1)种跳法； 第一次跳出二阶后，对应Fib(3-2)种跳法；第一次跳出三阶后，只有这一种跳法。Fib(3) = Fib(2) + Fib(1)+ 1 = Fib(2) + Fib(1) + Fib(0) = 4;

当n = 4时，有四种方式：第一次跳出一阶，对应Fib(4-1)种跳法；第一次跳出二阶，对应Fib(4-2)种跳法；第一次跳出三阶，对应Fib(4-3)种跳法；第一次跳出四阶，只有这一种跳法。所以，Fib(4) = Fib(4-1) + Fib(4-2) + Fib(4-3) + 1 = Fib(4-1) + Fib(4-2) + Fib(4-3) + Fib(4-4) 种跳法。

当n = n 时，共有n种跳的方式，第一次跳出一阶后，后面还有Fib(n-1)中跳法； 第一次跳出二阶后，后面还有Fib(n-2)中跳法……………………..第一次跳出n阶后，后面还有 Fib(n-n)中跳法。Fib(n) = Fib(n-1)+Fib(n-2)+Fib(n-3)+……….+Fib(n-n) = Fib(0)+Fib(1)+Fib(2)+…….+Fib(n-1)。

通过上述分析，我们就得到了通项公式：

                 Fib(n) =  Fib(0)+Fib(1)+Fib(2)+…….+ Fib(n-2) + Fib(n-1)

因此，有 Fib(n-1)=Fib(0)+Fib(1)+Fib(2)+…….+Fib(n-2)

两式相减得：Fib(n)-Fib(n-1) = Fib(n-1)         =====》  Fib(n) = 2*Fib(n-1)     n >= 3

这就是我们需要的递推公式：Fib(n) = 2*Fib(n-1)     n >= 3

3、代码实现：

public static int JumpFloorII(int target) {
		if(target<=0){
			return 0;
		}else if(target<3){
			return target;
		}else{
			Integer[] array = new Integer[target+1];
			array[0]=1;
			array[1]=1;
			array[2]=2;
			
			for(int i=3;i<=target;i++){
				array[i]=2*array[i-1];
			}
			return array[target];
		}
    }

四、矩阵覆盖：

1、题目：

可以用2*1的小矩形横着或者竖着去覆盖更大的矩形。请问用n个2*1的小矩形无重叠地覆盖一个2*n的大矩形，总共有多少种方法？

2、思路：

思路:  对于n>=3的情况， 不管前面矩形是怎样覆盖的。我们只考虑最后一次怎么覆盖。
最后一次只有两种覆盖方式：1.用1个小矩形竖着覆盖。2.用两个小矩形横着覆盖。
所以总的方法数无外乎–>你用各种方法覆盖到只剩1个再竖着覆盖或者你用各种方法覆盖到只剩两个再横着覆盖。
即:总的方法数F(n) = n-1次的方法数F(n-1)(接着用一个小矩形竖着覆盖) + n-2次的方法数F(n-2)(接着用两个小矩形横着覆盖)

3、代码实现：

        //4.2迭代方式实现：
	public int RectCover(int target) {
		if(target==0 || target==1 || target==2){
			return target;
		}else{
			int first=1,second=2,result=0;
			for(int i=3;i<=target;i++){
				result=first+second;
				first=second;
				second=result;
			}
			return result;
		}
	}
	
	
	//4.1递归方式
	public int RectCover1(int target) {

		if(target==0 || target==1 || target==2){
			return target;
		}else{
			return RectCover1(target-1)*RectCover1(target-2);
		}
        }