动态规划解决方案最长公共子序列问题（开启）

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动态规划

常常会遇到复杂问题不能简单地分解成几个子问题，而会分解出一系列的子问题。简单地採用把大问题分解成子问题。并综合子问题的解导出大问题的解的方法，问题求解耗时会按问题规模呈幂级数添加。

为了节约反复求同样子问题的时间，引入一个数组。无论它们是否对终于解实用。把全部子问题的解存于该数组中，这就是动态规划法所採用的基本方法。

【问题】求两字符序列的最长公共字符子序列

问题描写叙述：字符序列的子序列是指从给定字符序列中任意地（不一定连续）去掉若干个字符（可能一个也不去掉）后所形成的字符序列。

令给定的字符序列X=“x0，x1，…。xm-1”，序列Y=“y0，y1。…。yk-1”是X的子序列。存在X的一个严格递增下标序列<i0，i1，…。ik-1>，使得对全部的j=0，1，…，k-1，有xij=yj。

比如，X=“ABCBDAB”，Y=“BCDB”是X的一个子序列。

考虑最长公共子序列问题怎样分解成子问题，设A=“a0。a1。…，am-1”，B=“b0，b1，…。bm-1”，并Z=“z0。z1，…，zk-1”为它们的最长公共子序列。不难证明有下面性质：

（1）假设am-1=bn-1，则zk-1=am-1=bn-1，且“z0。z1，…。zk-2”是“a0，a1。…，am-2”和“b0，b1。…，bn-2”的一个最长公共子序列；

（2）假设am-1!=bn-1，则若zk-1!=am-1，蕴涵“z0。z1，…。zk-1”是“a0。a1，…。am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一个最长公共子序列；

（3）假设am-1!=bn-1，则若zk-1!=bn-1，蕴涵“z0，z1。…，zk-1”是“a0。a1，…，am-1”和“b0。b1。…，bn-2”的一个最长公共子序列。

这样，在找A和B的公共子序列时，如有am-1=bn-1。则进一步解决一个子问题，找“a0，a1。…，am-2”和“b0。b1，…，bm-2”的一个最长公共子序列。假设am-1!=bn-1，则要解决两个子问题，找出“a0。a1。…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一个最长公共子序列和找出“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1。…。bn-2”的一个最长公共子序列，再取两者中较长者作为A和B的最长公共子序列。

求解：

引进一个二维数组c[][]，用c[i][j]记录X[i]与Y[j] 的LCS 的长度。b[i][j]记录c[i][j]是通过哪一个子问题的值求得的，以决定搜索的方向。

我们是自底向上进行递推计算，那么在计算c[i,j]之前，c[i-1][j-1]，c[i-1][j]与c[i][j-1]均已计算出来。

此时我们依据X[i] = Y[j]还是X[i] != Y[j]。就能够计算出c[i][j]。

问题的递归式写成：

动态规划解决方案最长公共子序列问题（开启）

回溯输出最长公共子序列过程：

动态规划解决方案最长公共子序列问题（开启）

算法分析：
因为每次调用至少向上或向左（或向上向左同一时候）移动一步，故最多调用(m + n)次就会遇到i = 0或j = 0的情况，此时開始返回。

返回时与递归调用时方向相反，步数同样，故算法时间复杂度为Θ(m + n)。

代码：

 

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define MAXLEN 100

void LCSLength(char *x, char *y, int m, int n, int c[][MAXLEN], int b[][MAXLEN])

{
    int i, j;
    
    for(i = 0; i <= m; i++)
        c[i][0] = 0;
    for(j = 1; j <= n; j++)
        c[0][j] = 0;
    for(i = 1; i<= m; i++)
    {
        for(j = 1; j <= n; j++)
        {
            if(x[i-1] == y[j-1])
           {
                c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1;
                b[i][j] = 0;
            }
            else if(c[i-1][j] >= c[i][j-1])
            {
                c[i][j] = c[i-1][j];
                b[i][j] = 1;
            }
            else
            {
                c[i][j] = c[i][j-1];
                b[i][j] = -1;
            }
        }
    }
}

void PrintLCS(int b[][MAXLEN], char *x, int i, int j)
{
    if(i == 0 || j == 0)
        return;
    if(b[i][j] == 0)
    {
        PrintLCS(b, x, i-1, j-1);
        printf("%c ", x[i-1]);
    }
    else if(b[i][j] == 1)
        PrintLCS(b, x, i-1, j);
    else
        PrintLCS(b, x, i, j-1);
}

int main(int argc, char **argv)
{
    char x[MAXLEN] = ...{"ABCBDAB"};
    char y[MAXLEN] = ...{"BDCABA"};
    int b[MAXLEN][MAXLEN];
    int c[MAXLEN][MAXLEN];
    int m, n;
    
    m = strlen(x);
    n = strlen(y);
    
    LCSLength(x, y, m, n, c, b);
    PrintLCS(b, x, m, n);
    
    return 0;
}

认为思路很清晰，所以转载。

感谢作者：http://blog.csdn.net/yysdsyl/article/details/4226630

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