大家好，又见面了，我是你们的朋友全栈君。
RSA加密算法是一种非对称加密算法，于1977年由
罗纳德·李维斯特（Ron Rivest）
阿迪·萨莫尔（Adi Shamir）
伦纳德·阿德曼（Leonard Adleman）一起提出的。
RSA的优势：对极大整数做因数分解的难度决定了RSA算法的可靠性，对一极大整数做因数分解愈困难，RSA算法愈可靠
质数与互质数
一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除（除0以外）的数称之为质数（素数）；否则称为合数。
例如，15＝3×5，所以15不是素数
13除了等于13×1以外，不能表示为其它任何两个整数的乘积，所以13是一个素数
1不是质数，也不是合数
公约数只有1的两个数，叫做互质数。
取模运算
也就是求余数
例如，10 mod 3 = 1（10%3=1） 、26 mod 6 = 2 、28 mod 2 = 0
同余定理
“≡”是数论中表示同余的符号
同余的定义如下：
给定一个正整数m，如果两个整数a和b满足a – b能被m整除，即(a – b)modm=0，
那么就称整数a与b对模m同余，记作a ≡ b ( mod m)，同时可成立a mod m = b
注意，同余与模运算是不同的
显然,有如下事实
（1）若a≡0(mod m)，则m|a；
（2）a≡b(mod m)等价于a与b分别用m去除，余数相同。
欧拉函数
任意给定正整数n，计算在小于等于n的正整数之中，有多少个与n构成互质关系？计算这个值的方法就叫做欧拉函数，以φ(n)表示.
例如，在1到8之中，与8形成互质关系的是1、3、5、7，所以φ(n)=4
在RSA算法中，欧拉函数对以下定理成立
1.如果n可以分解成两个互质的整数之积，即n=p×q，则有：φ(n)=φ(pq)=φ( p )φ( q );
2.当p为质数，φ( p )=p-1
所以有φ(n)=(p-1)(q-1)
欧拉定理与模反元素
欧拉函数的用处，在于欧拉定理
“欧拉定理”指的是:
如果两个正整数a和n互质，则n的欧拉函数φ(n)可以让下面的等式成立：
a^φ(n)≡1(modn)
也就是说，a的φ(n)次方被n除的余数为1
模反元素的推导过程如下:
根据欧拉定理，有：
a^φ(n) = a × a^(φ(n)−1)≡1(modn)
令b=a^(φ(n)−1)，得：
ab≡1(modn)
b就是a的模反元素
所以，如果两个正整数a和n互质，那么一定可以找到整数b使得ab-1被n整除，或者说ab被n除的余数是1
所以求私钥d的公式：d*e≡1mod[(p-1)(q-1)]
其中{φ(n) = (p-1)(q-1),φ(n) 与e互质，k为正整数}
可化为：d= (k*φ(n)+1)/e
推导公式：d*e≡1mod φ(n)
可得：(d*e-1) / φ(n) =k
即：d = (k*φ(n)+1) / e
RSA密钥一般是1024位（安全）
由p,q,dp,dq,c求明文的算法
代码如下：
import gmpy2
I = gmpy2.invert(q,p)
mp = pow(c,dp,p)
mq = pow(c,dq,q) #求幂取模运算
m = (((mp-mq)*I)%p)*q+mq #求明文公式
print(hex(m)) #转为十六进制
一切以解题为目的的抄代码都是没有灵魂的，我们还是要从数学理论上去分析解决它，再去写代码。
发布者：全栈程序员-站长，转载请注明出处：https://javaforall.net/130540.html原文链接：https://javaforall.net
