卡尔曼滤波算法详细推导

大家好，又见面了，我是你们的朋友全栈君。

一、预备知识

1、协方差矩阵

是一个维列向量， u_i 是 x_i 的期望，协方差矩阵为

P=E[(X-E[X])(X-E[X])^T]

$=\begin{bmatrix} E[(x_1-u_1)(x_1-u_1)]& E[(x_1-u_1)(x_2-u_2)]& ...& E[(x_1-u_1)(x_n-u_n)]&\\ E[(x_2-u_2)(x_1-u_1)]& E[(x_2-u_2)(x_2-u_2)]& ...& E[(x_2-u_2)(x_n-u_n)]\\ ...& ...& ...& ...&\\ E[(x_n-u_n)(x_1-u_1)]& E[(x_n-u_n)(x_2-u_2)]& ...& E[(x_n-u_n)(x_n-u_n)]& \end{bmatrix}$

可以看出

协方差矩阵都是对称矩阵且是半正定的

协方差矩阵的迹 tr(P) 是的均方误差

2、用到的两个矩阵微分公式

公式一：

$\frac{\partial tr(AB)}{\partial A}=B^T$

公式二：若是对称矩阵，则下式成立

$\frac{\partial tr(ABA^T)}{\partial A}=2AB$

tr表示矩阵的迹，具体推导过程参考相关矩阵分析教程

二、系统模型与变量说明

1、系统离散型状态方程如下

由k-1时刻到k时刻，系统状态预测方程

$X_k=AX_{k-1}+Bu_k+w_k$

系统状态观测方程

Z_k=HX_k+v_k

2、变量说明如下

：状态转移矩阵

u_k ：系统输入向量

：输入增益矩阵

w_k ：均值为0，协方差矩阵为，且服从正态分布的过程噪声

：测量矩阵

v_k ：均值为0，协方差矩阵为，且服从正态分布的测量噪声

初始状态以及每一时刻的噪声 ${X_0, w_1,...,w_k,v_1,...v_k}$ 都认为是互相独立的，实际上，很多真实世界的动态系统都并不确切的符合这个模型；但是由于卡尔曼滤波器被设计在有噪声的情况下工作，一个近似的符合已经可以使这个滤波器非常有用了。

三、卡尔曼滤波器

卡尔曼估计实际由两个过程组成：预测与校正，在预测阶段，滤波器使用上一状态的估计，做出对当前状态的预测。在校正阶段，滤波器利用对当前状态的观测值修正在预测阶段获得的预测值，以获得一个更接进真实值的新估计值。

1、变量说明

x_k ：真实值

$\hat{x}_k$ ：卡尔曼估计值

P_k ：卡尔曼估计误差协方差矩阵

${\hat{x_k}}'$ ：预测值

${P_k}'$ ：预测误差协方差矩阵

K_k ：卡尔曼增益

$\hat{z}_k$ ：测量余量

2、卡尔曼滤波器计算过程

预测：

$\hat{x}'_k=A\hat{x}_{k-1}+Bu_{k}$

${P}'_k=AP_{k-1}A^T+Q$

校正：

$\hat{z}_k=z_k-H\hat{x}'_k$

$K_k={P}'_kH^T(H{P}'_kH^T+R)^{-1}$

$\hat{x}_k=\hat{x}'_k+K_k\hat{z}_k$

更新协方差估计：

$P_k=(I-K_kH){P}'_k$

观察以上六个式子，我们使用过程中关键要明白 ${P}'_k$ ， K_k 的算法原理，及 P_k 的更新算法

3、卡尔曼滤波算法详细推导

从协方差矩阵开始说起，真实值与预测值之间的误差为

${e}'_k=x_k-\hat{x}'_k$

预测误差协方差矩阵为 ${P}'_k=E[{e}'_k{{e}'_k}^T]=E[(x_k-\hat{x}'_k)(x_k-\hat{x}'_k)^T]$

真实值与估计值之间的误差为

$e_k=x_k-\hat{x}_k=x_k-(\hat{x}'_k+K_k(Hx_k+v_k-H\hat{x}'_k))$

$=(I-K_kH)(x_k-\hat{x}'_k)-K_kv_k$

卡尔曼估计误差协方差矩阵为

P_k=E[e_ke_k^T]

将 e_k 代入得到

$P_k=E[[(I-K_kH)(x_k-\hat{x}'_k)-K_kv_k][(I-K_kH)(x_k-\hat{x}'_k)-K_kv_k]^T]$

$=(I-K_kH)E[(x_k-\hat{x}'_k)(x_k-\hat{x}'_k)^T](I-K_kH)^T+K_kE[v_k{v}^T_k]K^T$

其中 E[v_kv_k^T]=R ，并将预测误差协方差矩阵代入，得到

$P_k=(I-K_kH){P}'_k(I-K_kH)^T+K_kRK_k^T$

卡尔曼滤波本质是最小均方差估计，而均方差是 P_k 的迹，将上式展开并求迹

$tr(P_k)=tr({P}'_k)-2tr(K_kH{P}'_k)+tr(K_k(H{P}'_kH^T+R)K_k^T)$

最优估计 K_k 使 tr(P_k) 最小，所以上式两边对 K_k 求导

$\frac{\partial tr(P_k)}{\partial K_k} = -\frac{\partial tr(2K_kH{P}'_k)}{\partial K_k}+\frac{\partial tr(K_k(H{P}'_kH^T+R)K_k^T)}{\partial K_k}$

套用第一节中提到的那两个矩阵微分公式，得到

$\frac{\partial tr(P_k)}{\partial K_k}=-2(H{P}'_k)^T+2K_k(H{P}'_kH^T+R)$

令上式等于0，得到

$K_k=P_k'H^T(HP_k'H^T+R)^{-1}$

到此，我们就知道了卡尔曼增益是怎么算出来的了，但是又有问题， P'_k 是怎么算的呢？

$P'_k=E[(x_k-\hat{x}'_k)(x_k-\hat{x}'_k)^T]$

$=E[(Ax_{k-1}+Bu_k+w_k-A\hat{x}_{k-1}-Bu_k)(Ax_{k-1}+Bu_k+w_k-A\hat{x}_{k-1}-Bu_k)^T]$

$=E[(A(x_{k-1}-\hat{x}_{k-1})+w_k)(A(x_{k-1}-\hat{x}_{k-1})+w_k)^T]$

$=E[(Ae_{k-1})(Ae_{k-1})^T]+E[w_kw_k^T]$

$=AP_{k-1}A^T+Q$

(注意其中展开过程用到了 E[w_k]=0 )

所以预测误差协方差矩阵 P'_k 可以由上一次算出的估计误差协方差矩阵 $P_{k-1}$ 及状态转移矩阵和过程激励噪声的协方差矩阵算得

4、总结

总结卡尔曼滤波的更新过程为

1步，首先 P_0 ， x_0 已知，然后由 P_0 算出 P'_1 ，再由 P'_1 算出 K_1 ，有了这些参数后，结合观测值就能估计出 x_1 ，再利用 K_1 更新 P_1

2步，然后下次更新过程为由 P_1 算出 P'_2 ，再由 P'_2 算出 K_2 ，有了这些参数后，结合观测值就能估计出 x_2 ，再利用 K_2 更新 P_2

……

n步，由 $P_{n-1}$ 算出 P'_n ，再由 P'_n 算出 K_n ，有了这些参数后，结合观测值就能估计出 x_n ，再利用 K_n 更新 P_n

这就是卡尔曼滤波器递推过程。

至于 P_k 的算法，

P_k=P'_k-K_kHP'_k-P'_kH^TK_k^T+K_k(HP'_kH^T+R)K_k^T

将 K_k 代入上式右边最后一项中， K_k^T 保持原样

$P_k=P'_k-K_kHP'_k-P'_kH^TK_k^T+P'_kH^T(HP'_kH^T+R)^{-1}(HP'_kH^T+R)K_k^T$

=P'_k-K_kHP'_k

=(I-K_kH)P'_k

（转载请声明出处谢谢合作）

reference：

1、https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%A1%E5%B0%94%E6%9B%BC%E6%BB%A4%E6%B3%A2

2、《矩阵分析与应用》张贤达著

发布者：全栈程序员-站长，转载请注明出处：https://javaforall.net/130650.html原文链接：https://javaforall.net

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