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关于数列极限定义的理解
前言
时间：2021年5月8日
作者：返祖猿
高等数学的开门红——极限是一个很折磨人的概念，于是花了一个下午的时间梳理课文，并将最终结论记录于此。
文内内容皆为作者本人对数列极限的理解，并不保证其正确性，仅供参考！
如有不妥，敬请指教。
课本：《高等数学（上册）（第三版）》
滕桂兰、杨万禄编；天津大学出版社；
节选自 p 33 → p 34 p33\to p34 p33→p34
数列极限定义
1. 定义（课文原文）
设 { x n } \{x_n\} {
xn} 是一个数列， a a a 是一个定数。
如果对于任意给定的正数 ε ε ε （不管它多么小），总存在正整数 N N N，使得对于 n > N n>N n>N 的一切 x n x_n xn，不等式 ∣ x n − a ∣ < ε |x_n-a|<ε ∣xn−a∣<ε 都成立，则称数 a a a 是数列 { x n } \{x_n\} {
xn} 的极限，或称数列 { x n } \{x_n\} {
xn} 收敛于 a a a，记做:
lim n → ∞ x n = a \lim\limits_{n\to\infty}x_n=a n→∞limxn=a，或 x n → a ( n → ∞ ) x_n\to a\quad(n\to\infty) xn→a(n→∞)，
若数列 x n x_n xn 没有极限就称数列是发散的。
2. 重点其一（课文原文）
（1）在定义中 ε > 0 ε>0 ε>0 是任意给定的，这一点非常重要。只有 ε ε ε 具有任意性，才能用不等式 ∣ x n − a ∣ < ε |x_n-a|<ε ∣xn−a∣<ε 表达出 x n x_n xn 与 a a a 无限接近的确切含义。
（2）定义中的整数 N N N 的选取与 ε ε ε 有关。一般来说，当给定的 ε ε ε 越小，选取的 N N N 就越大，但定义中的 N N N 不是惟一的，因为极限定义并不要求找到最小的 N N N，而只要存在一个 N N N 就可以了。
（3）数列极限定义，并没有直接提供求数列极限的方法，只能根据极限定义，验证给定的数列 { x n } \{x_n\} {
xn} 是否以 a a a 为极限。
3. 数列 { x n } \{x_n\} {
xn} 以 a a a 为极限的几何解释（课文原文）
从几何上看，数列 { x n } \{x_n \} {
xn} 是数轴上的一串点， a a a 是数轴上的一个确定点。
在数轴上做出 a a a 点的 ε ε ε 邻域，即开区间 ( a − ε , a + ε ) (a-ε,a+ε) (a−ε,a+ε)，
因绝对值不等式 ∣ x n − a ∣ < ε \quad |x_n-a|<ε ∣xn−a∣<ε,
与不等式 a − ε < x n < a + ε \quad a-ε <x_n<a+ε a−ε<xn<a+ε,
等价，所以当 n > N n>N n>N 时，所有的点 x n x_n xn，都落在 a a a 点的 ε ε ε 邻域内，而只有有限多个点（最多只有N个）落在邻域的外面。这就是 lim x → ∞ x n = a \lim\limits_{x\to\infty} x_n=a x→∞limxn=a 的几何意义（如图）。
my. 笔记部分
在理解定义之前，首先声明一下内容：
- 数列极限在 n → ∞ n\to\infty n→∞ 处产生，所以应该着眼于 n n n 越来越大的情况，即数列的后半部分。
- 根据课文内容，极限定义只能验证 a a a 是否是数列 x n x_n xn 的极限，所以只从此角度着手。
- 图像是用于理解数列极限的强大工具，本文将通过图像来理解定义。
OK，接下来就是 胡言乱语 的部分了。
Ⅰ. 从坐标轴上理解定义
数列 { x n } \{x_n\} {
xn} 的第 n n n 项总可以写成一个与 n n n 有关的式子： x n = f ( n ) x_n = f(n) xn=f(n)
联立不等式： ∣ x n − a ∣ < ε |x_n-a|<ε ∣xn−a∣<ε
一般 可以解出 n n n 关于 ε ε ε 的不等式： n > f ( ε ) n>f(ε) n>f(ε)
从图像的角度来看：
ε ε ε 代表了 a a a 邻域的大小，不等式 ∣ x n − a ∣ < ε |x_n-a|<ε ∣xn−a∣<ε 的含义即为：满足该不等式的所有 x n x_n xn 都会落在 a a a 的 ε ε ε 邻域中；
那么可以说：所有 n > f ( ε ) n>f(ε) n>f(ε) 都使 x n x_n xn 落在 a a a 的 ε ε ε 邻域中。
我们再从数列的角度理解上面这句话：
我们知道，数列 { x n } \{x_n\} {
xn} 的第一项 x 1 x_1 x1 到 x n x_n xn 为止，它的 n n n 是不断增大的，不断增大的 n n n 即代表了不断向后延续的每一个 x n x_n xn 项；
而从某个 n > f ( ε ) n>f(ε) n>f(ε) 开始，这个 n 及其之后的每一个 x n x_n xn 项都落在 a a a 的 ε ε ε 邻域中。
若上面这句话就此结束，可能让人摸不着二丈头脑，还请稍安勿躁，它要与下面段句话搭配食用。
最后，我们从数列极限的角度去理解：
数列极限一定在 n → ∞ n\to\infty n→∞ 处产生，故，需要让 n n n 越来越大，才能看出 x n x_n xn 越来愈接近某个数，这个数就是 a a a，即数列极限；
从图像的角度来看，若 n n n 越来越大，随之 x n x_n xn 越来越接近其级限值 a a a，在图像上就会呈现为：从 n n n 开始的每一项 x n x_n xn 都分布在 a a a 的周围，且随着 n → ∞ n\to\infty n→∞， x n x_n xn 所占据的 a a a 的邻域的范围也会越来越小，即 ε → 0 ε\to0 ε→0；
换言之，若 ε ε ε 越来越小，其对应的 n > f ( ε ) n>f(ε) n>f(ε) 反而越来越大，且不管 n n n 怎么大，其及其之后的所有 x n x_n xn 仍然落在 a a a 的 ε ε ε 邻域中，不就证明 a a a 是 { x n } \{x_n\} {
xn} 的极限了吗？
Ⅱ. 理解定义文字叙述
再回过头来看定义的文字叙述， N N N 是什么呢？
N N N 应该是小于等于 f ( ε ) f(ε) f(ε) 的最大整数，只有这样才能说：对于 n > N n>N n>N 的一切 x n x_n xn，不等式 ∣ x n − a ∣ < ε |x_n-a|<ε ∣xn−a∣<ε 都成立。
对于不同的 ε ε ε， N N N 的具体值是不确定的，但若数列 { x n } \{x_n\} {
xn} 有极限，不管 ε ε ε 取值多少， N N N 必定是存在的。
Ⅲ. n > f ( ε ) n>f(ε) n>f(ε) 时 f ( ε ) f(ε) f(ε) 的单调性
若以辩证的目光看到这里，想必会看到上文叙述中的漏洞：凭什么说 n n n 会随着 ε ε ε 的变小而增大呢？若 f ( ε ) f(ε) f(ε) 单调递增， n n n 反而会随着 ε ε ε 的变小而变小！
现在来思考一个这样的画面：
a a a 的 ε ε ε 邻域与 f ( ε ) f(ε) f(ε) 无关， ε ε ε 越小， a a a 的 ε ε ε 邻域必然越小，
假设 f ( ε ) f(ε) f(ε) 单调递增，即 n n n 随 ε ε ε 变小，那么 n n n 之后的 x n x_n xn 项就会越来越多，
于是，随着 a a a 的 ε ε ε 邻域变小，落在邻域上的 x n x_n xn 项反而越来越多……
到底是个什么异次元数列才能干出这种事？？
所以一般来说， f ( ε ) f(ε) f(ε) 是单调递减的。
明白为什么做这种题总会得到一个又臭又长的分数函数了吧！
Ⅳ. 假设得到了 n < f ( ε ) n<f(ε) n<f(ε) 的不等式
还是从图像的角度来：
ε ε ε 代表了 a a a 邻域的大小，不等式 ∣ x n − a ∣ < ε |x_n-a|<ε ∣xn−a∣<ε 的含义即为：满足该不等式的所有 x n x_n xn 都会落在 a a a 的 ε ε ε 邻域中；
若算着算着得到了 n < f ( ε ) n<f(ε) n<f(ε) 这样的不等式，那就说明能够落到 a a a 的 ε ε ε 邻域的只有从 1 1 1 到 n n n 的几项 x n x_n xn。
数列的极限一定在 n → ∞ n\to\infty n→∞ 出产生，然而 n n n 项之后的 x n x_n xn 无法落到 a a a 的 ε ε ε 邻域中，那就说明这个数列是发散的。
还有可能是算错了。
大概红字部分的可能性更高。
Ⅴ. 其他
如课文所说，通过数列极限定义只能验证 a a a 是否是数列 { x n } \{x_n\} {
xn} 的极限，而不能直接算出该数列的极限。
需注意， f ( ε ) f(ε) f(ε) 是为了方便叙述写的，定义中并没有这东西。
n n n 与 N N N 并无本质区别，无非一个是泛指，一个是特指。为了避免混乱，大多数情况下使用 n n n 进行叙述。
后语
本来想顺便把函数极限定义写下来的，没曾想把书给放教室里了，那就让我摸个?吧。
不管是数列极限定义还是函数极限定义，其难点都在 N N N、 ε ε ε、 σ σ σ、 X X X 的模糊性中，然而极限这东西本来就挺模糊的，还是应该放宽心态去看待。
各路大神若有指教敬请留言区评论。
再见。
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