均值不等式四个公式

全栈程序员-站长 • 2022年4月30日下午11:00 • 未分类 • 阅读 151

均值不等式四个公式假设有一根长度为24cm的钢筋，现在对其进行截取焊接成一个长方体框架，如何截取焊接才能保证长方体的体积最大？下面引出均值不等式可以解决这个问题。则有: 对进行证明:构建两个序列由排序不等式顺序和≥乱序和≥倒序和显然有下列不等式关系接下来利用这个关系证明不等式两边同时取倒数不等…

大家好，又见面了，我是你们的朋友全栈君。

假设有一根长度为24cm的钢筋，现在对其进行截取焊接成一个长方体框架，

如何截取焊接才能保证长方体的体积最大？

下面引出均值不等式可以解决这个问题。

均值不等式四个公式 $A_{1}= \sqrt{\frac{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+......+a_{n}^{2}}{n}}$

$A_{2}= \frac{a_{1}+a_{2}+......+a_{n}}{n}$

$A_{3}= \sqrt[n]{a_{1}a_{2}......a_{n}}$

$A_{4}= \frac{n}{\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+......+\frac{1}{a_{n}}}$

则有:

$A_{1}\geq A_{2}\geq A_{3}$ $\geq A_{4}$

对 $A_{2}\geq A_{3}$ 进行证明:

构建两个序列

$X_{1}= \frac{a_{1}}{A_{3}^{1}},X_{2}= \frac{a_{1}a_{2}}{A_{3}^{2}},.....,X_{n}= \frac{a_{1}a_{2}......a_{n}}{A_{3}^{n}}= 1$

$Y_{1}= \frac{1}{X_{1}},Y_{2}= \frac{1}{X_{2}},......,Y_{n}= \frac{1}{X_{n}}$

由排序不等式顺序和≥乱序和≥倒序和显然有下列不等式关系

$X_{1}Y_{n}+X_{2}Y_{1}+......+X_{n}Y_{n-1}\geq X_{1}Y_{1}+X_{2}Y_{2}+......+X_{n}Y_{n}$

$a_{1}+a_{2}+......+a_{n}\geq nA_{3}$

$A_{2}\geq A_{3}$

接下来利用这个关系证明

$A_{3}\geq A_{4}$

$\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+......+\frac{1}{a_{n}}$

$\dpi{80} \geq n\sqrt[n]{\frac{1}{a_{1}a_{2}......a_{n}}}$

$= \frac{n}{\sqrt[n]{a_{1}a_{2}......a_{n}}}$

不等式两边同时取倒数

$\frac{1}{\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+......+\frac{1}{a_{n}}}\leq \frac{1}{\frac{n}{\sqrt[n]{a_{1}a_{2}......a_{n}}}}$

不等式两边同时乘以n

$\frac{n}{\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+......+\frac{1}{a_{n}}}\leq \sqrt[n]{a_{1}a_{2}......a_{n}}$

$A_{3}\geq A_{4}$

得证

接下来证明

$A_{1}\geq A_{2}$

$\frac{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+......+a_{n}^{2}}{n}$

$= [(\frac{1}{n})^{2}+(\frac{1}{n})^{2}+......+(\frac{1}{n})^{2}](a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+......+a_{n}^{2})$

由柯西施瓦茨不等式可得

$\geq (\frac{a_{1}+a_{2}+......+a_{n}}{n})^{2}$

然后两边同时开平方可得

$A_{1}\geq A_{2}$

得证

四个均值不等式得证

$\sqrt{\frac{\sum (i=1,n) _{a_{i}}^{2}}{n}}\geq \frac{\sum (i=1,n)a_{i}}{n}\geq \sqrt[n]{\prod_{i= 1}^{n}a_{i}}\geq \frac{n}{\sum (i=1,n)\frac{1}{a_{i}}}$

等号成立条件

$a_{1}= a_{2}= ......= a_{n}$

对此可以解决上面的实际问题了

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