最长上升子序列（n*log n）

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NYOJ-214 单调递增子序列(二)

单调递增子序列(二)

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难度：4

描述

给定一整型数列{a1,a2…,an}（0<n<=100000），找出单调递增最长子序列，并求出其长度。

如：1 9 10 5 11 2 13的最长单调递增子序列是1 9 10 11 13，长度为5。

输入

有多组测试数据（<=7） 每组测试数据的第一行是一个整数n表示序列中共有n个整数，随后的下一行里有n个整数，表示数列中的所有元素.每个整形数中间用空格间隔开（0<n<=100000）。 数据以EOF结束 。 输入数据保证合法（全为int型整数）！

输出

对于每组测试数据输出整形数列的最长递增子序列的长度，每个输出占一行。

样例输入

7
1 9 10 5 11 2 13
2
2 -1

样例输出

5
1

/* 代码一：  经典求法---TLE
#include <iostream>
#include <cstdio>
const int N = 100000 + 10;
 
using namespace std;
 
int a[N], dp[N];
int main()
{
    int n, maxlen;
    while(scanf("%d", &n) != EOF)
    {
        maxlen = 0;
        for(int i = 0; i < n; ++i)
        {
            scanf("%d", &a[i]);
            dp[i] = 1;
            for(int j = 0; j < i; ++j)
            {
                if(a[j] < a[i] && dp[j] + 1 > dp[i])
                    dp[i] = dp[j] + 1;
                if(maxlen < dp[i])
                    maxlen = dp[i];
            }
        }
        printf("%d\n", maxlen);
    }
    return 0;
}
代码二：
这是一个很好的题目。题目的算法还是比较容易看出来的，就是求最长上升子序列的长度。
不过这一题的数据规模最大可以达到40000，经典的O(n^2)的动态规划算法明显会超时。
我们需要寻找更好的方法来解决是最长上升子序列问题。
先回顾经典的O(n^2)的动态规划算法，设A[i]表示序列中的第i个数，F[i]表示从1到i这一段
中以i结尾的最长上升子序列的长度，初始时设F[i] = 0(i = 1, 2, ..., len(A))。则有动态规划方程：F[i] = max{1, F[j] + 1} (j = 1, 2, ..., i - 1, 且A[j] < A[i])。
现在，我们仔细考虑计算F[i]时的情况。假设有两个元素A[x]和A[y]，满足
(1) x < y < i
(2) A[x] < A[y] < A[i]
(3) F[x] = F[y]
此时，选择F[x]和选择F[y]都可以得到同样的F[i]值，那么，在最长上升子序列的这个位置中，
应该选择A[x]还是应该选择A[y]呢？
很明显，选择A[x]比选择A[y]要好。因为由于条件(2)，在A[x+1] ... A[i-1]这一段中，
如果存在A[z]，A[x] < A[z] < a[y]，则与选择A[y]相比，将会得到更长的上升子序列。
再根据条件(3)，我们会得到一个启示：根据F[]的值进行分类。对于F[]的每一个取值k，
我们只需要保留满足F[i] = k的所有A[i]中的最小值。设D[k]记录这个值，
即D[k] = min{A[i]} (F[i] = k)。
 
注意到D[]的两个特点：
 
(1) D[k]的值是在整个计算过程中是单调不上升的。
(2) D[]的值是有序的，即D[1] < D[2] < D[3] < ... < D[n]。
 
利用D[]，我们可以得到另外一种计算最长上升子序列长度的方法。设当前已经求出的
最长上升子序列长度为len。先判断A[i]与D[len]。若A[i] > D[len]，
则将A[i]接在D[len]后将得到一个更长的上升子序列，len = len + 1， D[len] = A[i]；
否则，在D[1]..D[len]中，找到最大的j，满足D[j] < A[i]。令k = j + 1，则有D[j] < A[i] <= D[k]，
将A[i]接在D[j]后将得到一个更长的上升子序列，同时更新D[k] = A[i]。
最后，len即为所要求的最长上升子序列的长度。
 
在上述算法中，若使用朴素的顺序查找在D[1]..D[len]查找，由于共有O(n)个元素需要计算，
每次计算时的复杂度是O(n)，则整个算法的时间复杂度为O(n^2)，与原来的算法相比没有任何进步。
但是由于D[]的特点(2)，我们在D[]中查找时，可以使用二分查找高效地完成，则整个算法的时间复杂度
下降为O(nlogn)，有了非常显著的提高。需要注意的是，D[]在算法结束后记录的并不是一个符合题意的
最长上升子序列！
 
这个算法还可以扩展到整个最长子序列系列问题，整个算法的难点在于二分查找的设计，需要非常小心注意。
*/
 
#include <iostream>
#include <cstdio>
const int N = 100000 + 10;
 
using namespace std;
 
int a[N], dp[N];
 
int binarysearch(int k, int len)
{
    int right = len;
    int left = 1;
    int mid = (right + left) >> 1;
    while(left <= right)
    {
        if(k == dp[mid])
            return mid;
        if(k > dp[mid])
            left = mid + 1;
        else
            right = mid - 1;
        mid = (right + left) >> 1;
    }
    return left;
}
 
int main()
{
    int n;
    while(~scanf("%d", &n))
    {
        int len, t;
        for(int i = 0; i < n; ++i)
            scanf("%d", &a[i]);
        len = 1;
        dp[1] = a[0];
        for(int i = 1; i < n; ++i)
        {
            t = binarysearch(a[i], len);
            dp[t] = a[i];
            if(t > len)
                len = t;
        }
        printf("%d\n", len);
    }
    return 0;
}