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严格定义
设函数 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x) 在点 x 0 x_0 x0 的某个去心邻域内有定义，即存在 ρ > 0 \rho>0 ρ>0，使
O ( x 0 , ρ ) \ { x 0 } ⊂ D f \mathbf{O} (x_0,\rho)\backslash\{x_0\}\subset D_f O(x0,ρ)\{
x0}⊂Df
如果存在实数 A A A，对于任意给定的 ε > 0 \varepsilon>0 ε>0 ，可以找到 δ > 0 \delta>0 δ>0，使得当 0 < ∣ x − x 0 ∣ < δ 0<|x-x_0|<\delta 0<∣x−x0∣<δ 时，成立
∣ f ( x ) − A ∣ < ε , |f(x)-A|<\varepsilon, ∣f(x)−A∣<ε,
则称 A A A 时函数 f ( x ) f(x) f(x) 在点 x 0 x_0 x0 的极限，记为
lim x → x 0 f ( x ) = A , 或 , f ( x ) → A ( x → x 0 ) \lim_{x\to x_0}f(x)=A,\text{或},f(x)\to A(x\to x_0) x→x0limf(x)=A,或,f(x)→A(x→x0)
如果不存在具有上述性质的实数 A A A ，则称函数 f ( x ) f(x) f(x) 在点 x 0 x_0 x0 的极限不存在。
充分必要条件
函数 f ( x ) f(x) f(x) 在 x 0 x_0 x0 极限存在的充分必要条件是 f ( x ) f(x) f(x) 在 x 0 x_0 x0 的左极限与右极限存在且相等
2021年9月7日20:44:12
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