MATLAB fmincon 的初值x0的选取问题[通俗易懂]

大家好，又见面了，我是你们的朋友全栈君。

问题描述：在使用fmincon求解局部（全局）最优值时，我们需要在fmincon函数中输入初值x0，那么这个初值是否要像原始的牛顿法一样初值必须在可行域内（严格可行）？

MATLAB在Document （https://cn.mathworks.com/help/optim/ug/fmincon.html?s_tid=doc_ta）中是这样描述的：

大译：

初始点为实值（fmincon只能用于计算实数）：

1、若使用内点法，如果 Honorbounds项为真 （正常为默认真），x0不在lb和ub内时，会将其移动到严格的上下界内。（此处并未说明x0必须满足线性和非线性约束）。

2、若使用信赖域反射算法，fimincon 会将不可行的x0重新设置为满足上下界或线性等式的可行初始点。（此处并未说明x0必须满足线性和非线性不等式约束）。

3、如果使用’sqp’, 或者’active-set’算法，同内点法。

这样我们可以得出结论，初始点可以不在上界ub和下界lb内（需要满足线性和非线性不等式）。若优化问题是可行域是凸集（convex set），目标函数是凸函数（convex function），则初值的选取不会对最优值造成影响。如果目标函数是一个非凸函数，想得到全局最优，就需要在最优点附近找初值，否则可能得到局部最优。

我们举一个凸优化的例子：

objective function（convex in constraints）:  y = sin(x)

constraint（convex）

                bounds: 2.5<=x<=7

                nonlinear constraint  cos(x)<=0.4;

编程：

fun = @(x)sin(x);

lb = 2.5;
ub = 7;

A = [];
b = [];
Aeq = [];
beq = [];

nonlcon = @circlecon;
[x,fval] = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)

function [c,ceq] = circlecon(x)

c = cos(x)-0.4;
ceq = [];

1、当设 x0 = 0 得到结果：

Your initial point x0 is not between bounds lb and ub; FMINCON
shifted x0 to strictly satisfy the bounds.

                                            First-order      Norm of
 Iter F-count            f(x)  Feasibility   optimality         step
    0       2   -3.414013e-01    0.000e+00    8.765e-01
    1       4   -9.358700e-01    0.000e+00    2.093e-01    8.623e-01
    2       6   -9.972133e-01    0.000e+00    7.339e-02    2.854e-01
    3       8   -9.997119e-01    0.000e+00    1.023e-02    5.067e-02
    4      10   -9.999938e-01    0.000e+00    1.423e-03    2.048e-02
    5      12   -1.000000e+00    0.000e+00    2.205e-05    3.467e-03
    6      14   -1.000000e+00    0.000e+00    1.000e-05    3.129e-05
    7      16   -1.000000e+00    0.000e+00    1.006e-07    2.460e-05
 

Local minimum found that satisfies the constraints.

Optimization completed because the objective function is non-decreasing in 

feasible directions, to within the default value of the function tolerance,
and constraints are satisfied to within the default value of the constraint tolerance.
<stopping criteria details>
x =
    4.7124
fval =
   -1.0000

2、当设 x0 = 3 得到结果：

 Iter F-count            f(x)  Feasibility   optimality         step
    0       2    1.411200e-01    0.000e+00    9.778e-01
    1       4   -6.305350e-01    0.000e+00    6.608e-01    8.238e-01
    2       7   -9.983306e-01    0.000e+00    2.018e-01    9.463e-01
    3       9   -9.860621e-01    0.000e+00    6.715e-02    2.249e-01
    4      11   -9.978028e-01    0.000e+00    2.966e-02    1.009e-01
    5      13   -9.999612e-01    0.000e+00    3.837e-03    5.750e-02
    6      15   -9.999998e-01    0.000e+00    2.715e-04    8.133e-03
    7      17   -1.000000e+00    0.000e+00    2.447e-06    6.658e-04
    8      19   -1.000000e+00    0.000e+00    2.004e-08    6.083e-06
Local minimum found that satisfies the constraints.
Optimization completed because the objective function is non-decreasing in 
feasible directions, to within the default value of the function tolerance,
and constraints are satisfied to within the default value of the constraint tolerance.
<stopping criteria details>
x =
    4.7124
fval =

   -1.0000

可以看到，两次得到的都是全局最优解（提示是局部最小，实际是在满足限制条件的最小）。所以，fmincon的初始值x0可以任意取，只要保证为实数就行。