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例4,判断下列函数是否是满射、单射、双射。
4,判断下列函数是否是满射、单射、双射。
(1)f:N→Z,F (n)=小于n 的完全平方数的个数
f(n)={<0、0>,<1,1>,<2,2>,<3,2>,<4,2>,<5、2> }
:f(48)=7 f(49)=7 f(50)=8,
不是单射,48,49 的像均是7,不是满射,因负数没有原像。
如f:N-N,则f 是满射。
(2)f:R→R,f(a)=2a+5
” y∈R 存在X=(Y-5)/2使得F(X)=Y,则F 是满射。
如” x1,x2∈R,X1≠X2,则2×1+5≠2×1+5,即f(x1)≠f(x2)
所以:f是单射 从而F(x)=是双射
(3)f:R→Z,f(a)=[a],[a]是取整函数,表示不大于a 的最大整数。
F 是满射,但不是单射,从而也不是双射。
(4)f:z+→R,f(n)=Lgn,z+为正整数集合。
f 不是单射也不是满射。
3、常用函数:
定义29：
(1)f是A 到B 的函数,存在一个b∈B,使的” a∈A,f(a)=b
(2)恒等关系,集合 A 上的恒等主要是 A →A 的函数, 即” a ∈
A,IA(a)=a,IA 是双射。
(3)单调递增函数和单调递减函数、f:R→R 的函数。
(4)特征函数:设A 为一个集合,B˝ A ,子集B 的特征。
函数X 是A→E=的映射,定义为: X =1,a∈B; X =0,a∈A-B
B B B
(5)自然映射:设R 是A 上的余角关系,g 是A 到A/R 上的映射,
即g(a)=[a]([a]是a 生成的等价类)称g 是A 到A/R 的自然映射。
:A={1,2,3,4},B={1,4},
则B 的特征函数, XB (1)=1, XB (2)=0,XB (3 )=0, XB (4)=1
:A={a,b,c},R={
,}∪IA,等价类[a]=[b]={a,b},
[c]={c},A/R={
{a,b},{c}},则g(a)=g(b)=[a],g (c)=[c]。
二、复合函数
定义30:函数f:A→B,g:B→C,则复合关系f●g 称为函数f 和g 的
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复合函数
定理17:设函数f:A→B,g :B→C,则复合称f●g 是从A 到C 的函数,
而且” a∈A,(f●g)(a)=g(f(a))
证:因f 是函数,” a∈A 存在 一 b∈B,f(a)=b,因 g 是函数存在
一的 c 使得g(b)=c,∴g(f(a))。而根据复合关系,∈f●g,
由此可知” a ,存在 一c∈C,使得(f g)(a)=c,所以,f g 满足函
数条件且(f g)(a)=g(f(a))
5:使集合A={a,b,c},A 上的两个函数:
F={<1,3>,<2,1>,<3,3>}, g={<1,2>,<2,1>,<3,3>}
则f g={<1,3>,<2,2>,<3,1>},g f={<1,1>,<2,3>,<3,2>}
f f={<1,2>,<2,3>,<3,1>},f f f={<1,1>,<2,2>,<3,3>}=IA
6:R 上的三个函数,f(a)=3-a,g(a)=2a+a h(a)=a/3
则(f g)(a)=g(f(a))=g(3-a)=2(3-a)+1=7-2a
(g f)(a)=f(g(a))=f(2a+1)=2-2a((f g)h)(a)
=h((f g)(a))=h(g(f(a)))=h(7-2a)=(7-2a)/3
定理18:设函数F:A→B;g:B→C ;h:D→C,则 f (g h)=(f g) h
由复合关系运算的结合中主即可以到复合函数的结合律
定理19:设函数f:A→B ,g:B→C 则:
(1) 若f 和g 都是满射,则f g 也是满射；
(2) 若f 和g 都是单射,则f g 也是单射；
(3) 若f 和g 都是双射,则f g 也是双射。
证明: (1) ” Z∈C 因g 是满射,则存在y∈B ,使g(g)=z,因f 满射,对
于 y ∈B,存在 x ∈A,使得 f(x)=y, ∴g(f(x))=z 即(f g)(x)
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