动态规划应用–最长递增子序列 LeetCode 300[通俗易懂]

大家好，又见面了，我是你们的朋友全栈君。

1. 问题描述

有一个数字序列包含n个不同的数字，如何求出这个序列中的最长递增子序列长度？比如2，9，3，6，5，1，7这样一组数字序列，它的最长递增子序列就是2，3，5，7，所以最长递增子序列的长度是4。
https://leetcode-cn.com/problems/longest-increasing-subsequence/

2. 解题思路

• 类似题目：
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2.1 动态规划

• 假设在包含 i-1 下标数字时的最大递增子序列长度为 maxLen（i-1），那么下标为 i 时的 maxLen（i）需要考虑前面所有的状态，
• 如果 a[j] < a[i] （0 <= j < i），则 maxlen[i] = max(maxlen[j]+1 | （0 <= j < i）);
• 如果 a[j] >= a[i] （0 <= j < i），则 maxlen[i] = 1;

借一张动图说明

class Solution 
{ 
   
public:
    int lengthOfLIS(vector<int>& nums) 
    { 
   
        int n = nums.size();
        if(n == 0)
            return 0;
        int maxlen[n], ans;
        int i, j;
        for(i = 0; i < n; ++i)
            maxlen[i] = 1;//至少为1，自己
        for(i = 1; i < n; ++i)
        { 
   
        	ans = 1;
            for(j = 0; j < i; ++j)
            { 
   
            	if(nums[i] > nums[j] && maxlen[j]+1 > ans)
            	{ 
   
            		ans = maxlen[j]+1;
            		maxlen[i] = ans;
            	} 
        	}
        }
        for(ans = 1, i = 0; i < n; ++i)
        { 
   
        	if(maxlen[i] > ans)//取最大值
        		ans = maxlen[i];
        }
        return ans;
    }
};

class Solution { 
   	//2020.3.14
public:
    int lengthOfLIS(vector<int>& nums) { 
   
        if(nums.size() == 0)
            return 0;
        int i, j, n = nums.size(),maxlen = 1;
        vector<int> dp(n,1);
        for(i = 1; i < n; ++i)
        { 
   
            for(j = i-1; j >= 0; --j)
            { 
   
                if(nums[i] > nums[j])
                    dp[i] = max(dp[i], dp[j]+1);
            }
            maxlen = max(maxlen, dp[i]);
        }
        return maxlen;
    }  
};

2.2 二分查找

• 参考官方的解答
• dp[i] 表示长度为 i+1 的子序的最后一个元素的 最小数值
• 遍历每个 nums[i]，找到其在dp数组中的位置（大于等于 nums[i] 的第一个数），将他替换成较小的

以输入序列 [0, 8, 4, 12, 2] 为例：

第一步插入 0，dp = [0]

第二步插入 8，dp = [0, 8]

第三步插入 4，dp = [0, 4]

第四步插入 12，dp = [0, 4, 12]

第五步插入 22，dp = [0, 2, 12]

class Solution { 
   
public:
    int lengthOfLIS(vector<int>& nums) { 
   
        if(nums.size() == 0)
            return 0;
        int i, l, r, n = nums.size(), maxlen = 1, idx;
        vector<int> dp(n);
        dp[0] = nums[0];
        for(i = 1; i < n; ++i)//遍历每个数
        { 
   
            l = 0, r = maxlen-1;
            idx = bs(dp,l,maxlen,nums[i],maxlen);
			//二分查找nums[i] 在dp中的位置
            if(idx == maxlen)//nums[i] 是最大的
            { 
   
                dp[idx] = nums[i];
                maxlen++;
            }
            else//不是最大的，更新 dp[i] 里的数为较小的
                dp[idx] = min(dp[idx], nums[i]);
        }
        return maxlen;
    }  

    int bs(vector<int> &dp, int l, int r, int& target, int& maxlen)
    { 
   	//二分查找nums[i] 在dp中的位置， 第一个大于等于 nums[i] 的
        int mid;
        while(l <= r)
        { 
   
            mid = l + ((r-l)>>1);
            if(dp[mid] < target)
                l = mid+1;
            else
            { 
   
                if(mid == 0 || dp[mid-1] < target)
                    return mid;
                else
                    r = mid-1;
            }
        }
        return maxlen;//没有找到，nums[i] 最大，放最后
    }
};

• 基于上面的想法，直接用 treeset 可以简化代码

class Solution { 
   
public:
    int lengthOfLIS(vector<int>& nums) { 
   
        if(nums.size() == 0)
            return 0;
        set<int> s;
        for(auto& n : nums)
        { 
   
            if(s.count(n))
                continue;
            else
            { 
   
                auto it = s.upper_bound(n);//n的上界
                if(it == s.end())//没有比我大的
                    s.insert(n);
                else//有比我大的
                { 
   
                    s.erase(it);//删除比我大的
                    s.insert(n);//换成我
                }
            }
        }
        return s.size();
    }
};