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Python 根据AIC准则定义向前逐步回归进行变量筛选（二）

AIC简介

AIC即赤池值，是衡量模型拟合优良性和模型复杂性的一种标准，在建立多元线性回归模型时，变量过多，且有不显著的变量时，可以使用AIC准则结合逐步回归进行变量筛选。AICD数学表达式如下：
$$AIC=2p+n(log(SSE/n))$$
其中，$p$是进入模型当中的自变量个数，$n$为样本量，$SSE$是残差平方和，在$n$固定的情况下，$p$越小，$AIC$越小，$SSE$越小，$AIC$越小，而$p$越小代表着模型越简洁，$SSE$越小代表着模型越精准，即拟合度越好，综上所诉，$AIC$越小，即模型就越简洁和精准。

逐步回归

逐步回归分为三种，分别是向前逐步回归，向后逐步回归，逐步回归。向前逐步回归的特点是将自变量一个一个当如模型中，每当放入一个变量时，都利用相应的检验准则检验，当加入的变量不能使得模型变得更优良时，变量将会被剔除，如此不断迭代，直到没有适合的新变量加入为止。向后逐步回归的特点是，将所有变量都放入模型之后，一个一个的剔除变量，将某一变量拿出模型而使得模型更优良时，将会剔除此变量。如此反复迭代，直到没有合适的变量剔除为止。逐步回归则是结合了以上的向前和向后逐步回归的特点。

继上一篇的代码

import numpy as np
import pandas as pd
from sklearn.datasets import fetch_california_housing as fch  #加载加利福尼亚房屋价值数据
#加载线性回归需要的模块和库
import statsmodels.api as sm #最小二乘
from statsmodels.formula.api import ols #加载ols模型
data=fch() #导入数据
house_data=pd.DataFrame(data.data) #将自变量转换成dataframe格式，便于查看
house_data.columns=data.feature_names  #命名自变量
house_data.loc[:,"value"]=data.target #合并自变量，因变量数据
house_data.shape #查看数据量
house_data.head(10) #查看前10行数据
#分训练集测试集
import random
random.seed(123) #设立随机数种子
a=random.sample(range(len(house_data)),round(len(house_data)*0.3))
house_test=[]
for i in a:
    house_test.append(house_data.iloc[i])
house_test=pd.DataFrame(house_test)
house_train=house_data.drop(a)

定义向前逐步回归函数

#定义向前逐步回归函数
def forward_select(data,target):
    variate=set(data.columns)  #将字段名转换成字典类型
    variate.remove(target)  #去掉因变量的字段名
    selected=[]
    current_score,best_new_score=float('inf'),float('inf')  #目前的分数和最好分数初始值都为无穷大（因为AIC越小越好）
    #循环筛选变量
    while variate:
        aic_with_variate=[]
        for candidate in variate:  #逐个遍历自变量
            formula="{}~{}".format(target,"+".join(selected+[candidate]))  #将自变量名连接起来
            aic=ols(formula=formula,data=data).fit().aic  #利用ols训练模型得出aic值
            aic_with_variate.append((aic,candidate))  #将第每一次的aic值放进空列表
        aic_with_variate.sort(reverse=True)  #降序排序aic值
        best_new_score,best_candidate=aic_with_variate.pop()  #最好的aic值等于删除列表的最后一个值，以及最好的自变量等于列表最后一个自变量
        if current_score>best_new_score:  #如果目前的aic值大于最好的aic值
            variate.remove(best_candidate)  #移除加进来的变量名，即第二次循环时，不考虑此自变量了
            selected.append(best_candidate)  #将此自变量作为加进模型中的自变量
            current_score=best_new_score  #最新的分数等于最好的分数
            print("aic is {},continuing!".format(current_score))  #输出最小的aic值
        else:
            print("for selection over!")
            break
    formula="{}~{}".format(target,"+".join(selected))  #最终的模型式子
    print("final formula is {}".format(formula))
    model=ols(formula=formula,data=data).fit()
    return(model)

利用向前逐步回归筛选变量

forward_select(data=house_train,target="value")

最终保留了7个自变量，其实只是剔除了一个自变量，将这七个自变量放进模型里再运行一遍，查看模型结果

lm_1=ols("value~MedInc+HouseAge+Latitude+Longitude+AveBedrms+AveRooms+AveOccup",data=house_train).fit()
lm_1.summary()

由以上结果可以看出，其实模型的R方几乎没有变化。
本篇文章主要是想讲述如何利用statsmodels和AIC准则定义向前逐步回归函数筛选自变量，在日后遇到比较多自变量的时候，方便进行自变量筛选。

参考文献

常国珍，赵仁乾，张秋剑.Python数据科学技术详解于商业实战[M]. 北京：中国人民大学出版社，2018.