KAZE特征的理解

大家好，又见面了，我是你们的朋友全栈君。

毕设要做图像配准，计划使用KAZE特征进行特征点的检测，以下是我对KAZE算法原理的理解，有什么不对的地方，希望提出来大家相互讨论学习。
一、KAZE算法的由来
KAZE算法是由法国学者在在2012年的ECCV会议中提出的，是一种比SIFT更稳定的特征检测算法。KAZE的取名是为了纪念尺度空间分析的开创者—日本学者Iijima。KAZE在日语中是‘风’的谐音，寓意是就像风的形成是空气在空间中非线性的流动过程一样，KAZE特征检测是在图像域中进行非线性扩散处理的过程。
KAZE算法的原英文文献《KAZE Features》的地址为：https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-642-33783-3_16
二、KAZE算法的原理
SITF、SURF算法是通过线性尺度空间，在线性尺度空间来检测特征点的，容易造成边界模糊和细节丢失；而KAZE算法是通过构造非线性尺度空间，并在非线性尺度空间来检测特征点，保留了更多的图像细节。KAZE算法主要包括以下步骤：
(1)非线性尺度空间的构建；
(2)特征点的检测与精确定位；
(3)特征点主方向的确定；
(4)特征描述子的生成。
下面详细讲述每一步的具体过程。
1.非线性尺度空间的构建
KAZE算法作者通过非线性扩散滤波和加性算子分裂（AOS）算法来构造非线性尺度空间。在此有必要了解下非线性扩散滤波和AOS算法。
(1) 非线性扩散滤波
非线性扩散滤波方法是将图像亮度（L）在不同尺度上的变化视为某种形式的流动函数的散度，可以通过非线性偏微分方程来描述：

其中c(x,y,t)为传导函数，可由下式来构造：

其中的▽Lσ是高斯平滑后的图像Lσ的梯度，《KAZE Features》一文中给出了g()函数的几种表达形式：


其中g1能够保留高对比度的边缘，g2能够保留宽度较大的区域，g3能够有效平滑区域内部而保留边界信息，《KAZE Features》一文中选择g2。参数k是控制扩散级别的对比度因子，决定保留多少边缘信息，其值越大，保留的边缘信息越少。
(2)AOS算法
非线性扩散滤波中的偏微分方程没有解析解。因此，需要使用数值方法来逼近微分方程。将上述偏微分方程离散化：

其中Al是表示图像在各维度（l）上传导性的矩阵，τ为时间步长。该方程的解如下：

了解了非线性扩散滤波和AOS算法后，下面进入我们的正题——非线性尺度空间的构建。
KAZE特征的尺度空间构造与SIFT类似，尺度级别按对数递增，但KAZE的各个层级均采用与原始图像相同的分辨率。
SIFT算法中线性尺度空间的构建是由由高斯金字塔相邻两层相减得到DOG金字塔的。需对对原始图像进行下采样，每次下采样所得到的新图像为金字塔的一层，多次下采样操作便构成了图像金字塔。为了让尺度体现其连续性，高斯金字塔在简单降采样的基础上加上了高斯滤波。将图像金字塔每层的一张图像使用不同参数做高斯模糊，使得金字塔的每层含有多张高斯模糊图像，将金字塔每层多张图像合称为一组(Octave)。由SIFT算法特征点的检测过程知道，要使每组中检测S个尺度的极值点，则DOG金字塔每组需S+2层图像，高斯金字塔每组需S+3层图像。
那么，构建尺度空间的参数：

如何确定呢？
以上三个参数具有关系：

其中是σ0基准层尺度，o为组octave的索引，s为组内层的索引。关键点的尺度参数就是按关键点所在的组和组内的层数，结合上式计算来的（所以在后面特征描述符的生成中，对于对于处在同一组的同一层中的特征点的描述符相同）。
在构建高斯金字塔时，组内每层的尺度参数按如下公式计算：

其中

其中σ0为初始尺度，lowe取1.6，s为组内的层索引，S=3。由上式可知，不同组相同层的组内尺度参数相同。
在计算组内某一层图像的尺度时，直接使用如下公式进行计算：

为了保证尺度空间的连续性，下一组的第1层图像是由上一组的倒数第三层下采样得到的。假设第一组的初始尺度为σ，则第一组中每层的尺度参数依次为：σ，kσ，kkσ，kkkσ,kkkkσ…倒数第三层的尺度为

而DoG金字塔中间的层数被选出来检测极值点，第一组是kσ，kkσ，kkkσ，第二组是2kσ，2kkσ，2kkkσ，而kkkσ=2σ，2kσ，2kkσ，2kkkσ=kkkkσ，kkkkkσ，kkkkkkσ，和第一组的连续起来了，保证了尺度空间的连续性。下图是SIFT算法构造尺度空间的过程。

而KAZE的不同之处是，无需对图像进行下采样，各个层级均采用与原始图像相同的分辨率。非线性扩散滤波模型是以时间为单位的，故需要将尺度参数转换为时间（此处称为进化时间）。在高斯尺度空间下，使用标准差为σ的高斯核对图像进行卷积，相当于对图像进行持续时间为t=σσ/2的滤波，故两者的转换公式为：t=σσ/2。根据一组进化时间，利用AOS算法即可得到非线性尺度空间的所有图像：

2.特征点的检测与精确定位
(1)特征点的检测
KAZE的特征点检测与SIFT类似。是通过寻找不同尺度归一化后的Hessian行列式的局部极大值（或者极小值）点来实现的。

如上图中画×的特征点，比较其与同一层中周围的8个像素点，再加上相邻层的9+9=18个像素点，即26个像素点，当其大于（或者小于）所有相邻点时，该点就是极值点。
(2).特征点的精确定位
这一过程和SIFT一样，通过泰勒表达式：

对其求导数，并令导数等于零，解得

将解带入泰勒表达式，得


时保留该特征点，否则剔除。
3.特征点主方向的确定
这一过程和SURF一样。若特征点的尺度参数为σi，则搜索半径设为6σi。在这个圆形领域内做一个60度的扇形区域，统计这个扇形区域内的haar小波特征总和，然后转动扇形区域，再统计小波特征总和。小波特征总和最大的方向为主方向。

4.特征描述子的生成
对于尺度参数为σi的特征点，在梯度图像上以特征点为中心取一个24σi×24σi的窗口，并将窗口划分为4×4个子区域，每个子区域大小为9σi×9σi，相邻的子区域有宽度为2σi的交叠带（此处我认为应该是相邻的子区域有宽度为4σi的交叠带，不然24σi不够划分为4×4个子区域）。每个子区域都用一个高斯核（σ1 =2.5σi）进行加权，然后计算出长度为4的子区域描述向量：

再通过另一个大小为4×4的高斯窗口（σ2 =1.5σi）对每个子区域的向量dv进行加权，最后进行归一化处理。这样就得到了4×4×4=64维的描述向量。
到此KAZE特征检测算法的原理算是讲完了，下面说一下KAZE特征的优缺点。
优点：
(1)在图像模糊、噪声干扰和压缩重构等造成的信息丢失的情况下，KAZE特征的鲁棒性明显优于其它特征。
(2)相比于线性尺度空间，非线性尺度空间不会造成边界模糊和细节丢失，而且更稳定。
缺点：
(1)KAZE算法在尺度不变性上是逊于SIFT的。
(2)KAZE特征的匹配对参数的设置比较敏感。
(3)KAZE特征的检测时间高于SURF，但与SIFT相近。

但KAZE特征是如何保证尺度不变性的？首先尺度不变性是指，不论原图怎么缩放，都能够找到相同的特征点。我个人看法是，在图像配准过程中，虽然浮动图像和参考图像可能在尺度上存在一定的缩放，但他们在非线性尺度空间中，肯定存在两幅图像在尺度上是相同的（由非线性尺度空间的构建可知），那么在这两幅相同尺度的图像中进行特征点的检测，生成的描述子应该是相同的，进而保证了尺度不变性。
但这只是我的个人见解，本人太菜，也不知道正确与否，哪里有不对的地方，欢迎留言讨论，相互学习！