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Extended Kalman Filter（扩展卡尔曼滤波）是卡尔曼滤波的非线性版本。在状态转移方程确定的情况下，EKF已经成为了非线性系统状态估计的事实标准。本文将简要介绍EKF，并介绍其在无人驾驶多传感器融合上的应用。

KF与EKF

本文假定读者已熟悉KF，若不熟悉请参考卡尔曼滤波简介。

KF与EKF的区别如下：

1. 预测未来：$x'=Fx+u$用$x'=f(x,u)$代替；其余$F$用$F_j$代替。
2. 修正当下：将状态映射到测量的$Hx'$用$h(x')$代替；其余$H$用$H_j$代替。

其中，非线性函数$f(x,u)，h(x')$用非线性得到了更精准的状态预测值、映射后的测量值；线性变换$F_j，H_j$通过线性变换使得变换后的$x，z$仍满足高斯分布的假设。

$F_j，H_j$计算方式如下：

$$\begin{split}F_j &= \frac{\partial f(x, u)}{\partial x} \\b &= \frac{\partial h(x')}{\partial x}\end{split}$$

为什么要用EKF

KF的假设之一就是高斯分布的$x$预测后仍服从高斯分布，高斯分布的$x$变换到测量空间后仍服从高斯分布。可是，假如$F、H$是非线性变换，那么上述条件则不成立。

将非线性系统线性化

既然非线性系统不行，那么很自然的解决思路就是将非线性系统线性化。

对于一维系统，采用泰勒一阶展开即可得到：

$$f(x) \approx f(\mu) + \frac{ \partial f(\mu)}{\partial x}(x-\mu)$$

对于多维系统，仍旧采用泰勒一阶展开即可得到：

$$T(x) \approx f(a) + (x-a)^T Df(a)$$

其中，$Df(a)$是Jacobian矩阵。

多传感器融合

lidar与radar

本文将以汽车跟踪为例，目标是知道汽车时刻的状态$x = (p_x, p_y, v_x, v_y)$。已知的传感器有lidar、radar。

• lidar：笛卡尔坐标系。可检测到位置，没有速度信息。其测量值$z=(p_x, p_y)$。
• radar：极坐标系。可检测到距离，角度，速度信息，但是精度较低。其测量值$z=(\rho, \phi, \dot{\rho})$，图示如下。

传感器融合步骤

步骤图如上所示，包括：

1. 收到第一个测量值，对状态$x$进行初始化。
2. 预测未来
3. 修正当下

初始化

初始化，指在收到第一个测量值后，对状态$x$进行初始化。初始化如下，同时加上对时间的更新。

对于radar来说，

$$\left[ \begin{matrix} p_x \\ p_y \\ v_x \\ v_y \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} p_x \\ p_y \end{matrix} \right]$$

对于radar来说，

$$\left[ \begin{matrix} p_x \\ p_y \\ v_x \\ v_y \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} \rho \cos{\phi} \\ \rho \sin{\phi} \\ \dot{\rho} \cos{\phi}\\ \dot{\rho} \sin{\phi} \end{matrix} \right]$$

预测未来

预测主要涉及的公式是：

$$\begin{split}x' &= Fx \\P' &= FPF^T + Q\end{split}$$

需要求解的有三个变量：$F、P、Q$。

$F$表明了系统的状态如何改变，这里仅考虑线性系统，F易得：

$$Fx = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & dt & 0 \\ 0 & 1 & 0& dt \\ 0 & 0 & 1& 0 \\ 0 & 0 & 0& 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} p_x \\ p_y \\ v_x \\ v_y \end{matrix} \right]$$

$P$表明了系统状态的不确定性程度，用$x$的协方差表示，这里自己指定为：

$$P = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0& 0 \\ 0 & 0 & 1000& 0 \\ 0 & 0 & 0& 1000 \end{matrix} \right]$$

$Q$表明了$x' = Fx$未能刻画的其他外界干扰。本例子使用线性模型，因此加速度变成了干扰项。$x' = Fx$中未衡量的额外项目$v$为：

$$v = \left[ \begin{matrix} \frac{a_x dt^2}{2} \\ \frac{a_y dt^2}{2} \\ a_x dt \\ a_y dt \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} \frac{dt^2}{2} & 0 \\ 0 & \frac{dt^2}{2} \\ dt & 0 \\ 0 & dt \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} a_x\\a_y \end{matrix} \right] = Ga$$

$v$服从高斯分布$N(0, Q)$。

$$\begin{split}Q &= E[v v^T]= E[Gaa^TG^T] = GE[aa^T]G^T \\&= G\left[ \begin{matrix} \sigma_{ax}^2 & 0\\0 & \sigma_{ay}^2 \end{matrix} \right] G^T \\ &= \left[ \begin{matrix} \frac{{dt}^4}{4} \sigma_{ax}^2 & 0 & \frac{{dt}^3}{2} \sigma_{ax}^2 & 0 \\ 0 & \frac{{dt}^4}{4} \sigma_{ay}^2 & 0 & \frac{{dt}^3}{2} \sigma_{ay}^2 \\ \frac{{dt}^3}{2} \sigma_{ax}^2 & 0 & {dt}^2 \sigma_{ax}^2 & 0 \\ 0 & \frac{{dt}^3}{2} \sigma_{ay}^2 & 0& {dt}^2 \sigma_{ay}^2 \end{matrix} \right]\end{split}$$

修正当下

lidar

lidar使用了KF。修正当下这里牵涉到的公式主要是：

$$\begin{split}y &= z - Hx \\S &= HPH^T+R \\K &= PH^TS^{-1} \\x' &= x+Ky \\P' &= (I-KH)P\end{split}$$

需要求解的有两个变量：$H、R$。

$H$表示了状态空间到测量空间的映射。

$$Hx = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} p_x \\ p_y \\ v_x \\ v_y \end{matrix} \right]$$

$R$表示了测量值的不确定度，一般由传感器的厂家提供，这里lidar参考如下：

$$R_{laser} = \left[ \begin{matrix} 0.0225 & 0 \\ 0 & 0.0225 \end{matrix} \right]$$

radar

radar使用了EKF。修正当下这里牵涉到的公式主要是：

$$\begin{split}y &= z - f(x) \\S &= H_jPH_j^T+R \\K &= PH_j^TS^{-1} \\x' &= x+Ky \\P' &= (I-KH_j)P\end{split}$$

区别与上面lidar的主要有：

1. 状态空间到测量空间的非线性映射$f(x)$
2. 非线性映射线性化后的Jacob矩阵
3. radar的$R_{radar}$

状态空间到测量空间的非线性映射$f(x)$如下

$$f(x) = \left[ \begin{matrix} \rho \\ \phi \\ \dot{\rho} \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} \sqrt{p_x^2+p_y^2} \\ \arctan{\frac{p_y}{p_x}} \\ \frac{p_x v_x + p_y v_y}{\sqrt{p_x^2+p_y^2} } \end{matrix}\right]$$

非线性映射线性化后的Jacob矩阵$H_j$

$$H_j = \frac{\partial f(x)}{\partial x} = \left[ \begin{matrix} \frac{\partial \rho}{\partial p_x} & \frac{\partial \rho}{\partial p_y} & \frac{\partial \rho}{\partial v_x} & \frac{\partial \rho}{\partial v_y} \\ \frac{\partial \phi}{\partial p_x} & \frac{\partial \phi}{\partial p_y} & \frac{\partial \phi}{\partial v_x} & \frac{\partial \phi}{\partial v_y} \\ \frac{\partial \dot{\rho}}{\partial p_x} & \frac{\partial \dot{\rho}}{\partial p_y} & \frac{\partial \dot{\rho}}{\partial v_x} & \frac{\partial \dot{\rho}}{\partial v_y} \end{matrix} \right]$$

$R$表示了测量值的不确定度，一般由传感器的厂家提供，这里radar参考如下：

$$R_{laser} = \left[ \begin{matrix} 0.09 & 0 & 0\\ 0 & 0.0009 & 0 \\ 0 & 0 & 0.09 \end{matrix} \right]$$

传感器融合实例

多传感器融合的示例如下，需要注意的有：

1. lidar和radar的预测部分是完全相同的
2. lidar和radar的参数更新部分是不同的，不同的原因是不同传感器收到的测量值是不同的
3. 当收到lidar或radar的测量值，依次执行预测、更新步骤
4. 当同时收到lidar和radar的测量值，依次执行预测、更新1、更新2步骤

多传感器融合的效果如下图所示，红点和蓝点分别表示radar和lidar的测量位置，绿点代表了EKF经过多传感器融合后获取到的测量位置，取得了较低的RMSE。