大家好，又见面了，我是你们的朋友全栈君。
包含了抽象代数里面的一些概念，最近看文章的时候一直反映不过来，理想是个啥来着，环和域的区别是啥来着。所以统筹整理一下。
文章目录
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- 集合/(Set)：
- 半群/(Monoid)：
- 群 ( G , ⋅ ) (G,\cdot) (G,⋅)/(Group)：
- 交换群/(Commutative Group)：
- 环 ( R , + , ⋅ ) (R,+,\cdot) (R,+,⋅)/(Ring)：
- 交换环 ( R , + , ⋅ ) (R,+,\cdot) (R,+,⋅)/(Commutative Ring)：
- 域 ( F , + , ⋅ ) (F,+,\cdot) (F,+,⋅)/(Field)：
- 有限域 ( F , + , ⋅ ) (F,+,\cdot) (F,+,⋅)/(Galois Field):
- 环的理想/(ideal)
- 原根/(Primitive Root)
- 生成/(Generate)
- 商环/(Quotient Ring)
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集合/(Set)：
一个集合 G G G表示一组数据
有限集合： G = { a 1 , a 2 , . . . , a n } , ∣ G ∣ = n G=\{a_1,a_2,…,a_n\},|G|=n G={
a1,a2,...,an},∣G∣=n
无穷集合： G = { a 1 , a 2 , . . . } , ∣ G ∣ = ∞ G=\{a_1,a_2,…\},|G|=\infin G={
a1,a2,...},∣G∣=∞
一个班级的所有学生
半群/(Monoid)：
一个集合 G G G，以及一个二元运算 ( ⋅ ) (\cdot) (⋅)。满足
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封闭性： a ∈ G , b ∈ G , a ⋅ b ∈ G a\in G,b \in G,a\cdot b\in G a∈G,b∈G,a⋅b∈G
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结合律： ( a b ) c = a ( b c ) (ab)c=a(bc) (ab)c=a(bc)
自然数 N = { 0 , 1 , 2 , . . . } \N=\{0,1,2,…\} N={
0,1,2,...}是一个加法半群，以及乘法半群。集合 A A A的子集对于求交构成一个半群，对于求并集构成一个半群。
整数对于乘法构成半群。
群 ( G , ⋅ ) (G,\cdot) (G,⋅)/(Group)：
一个集合 G G G，以及一个二元运算 ( ⋅ ) (\cdot) (⋅)。满足
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封闭性： a ∈ G , b ∈ G , a ⋅ b ∈ G a\in G,b \in G,a\cdot b\in G a∈G,b∈G,a⋅b∈G
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结合律： ( a b ) c = a ( b c ) (ab)c=a(bc) (ab)c=a(bc)
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单位元： ∃ e , e a = a e = e \exist e,ea=ae=e ∃e,ea=ae=e
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逆元： ∀ a ∈ G , ∃ a ′ ∈ G , a a ′ = a ′ a = e \forall a\in G, \exist a’\in G,aa’=a’a=e ∀a∈G,∃a′∈G,aa′=a′a=e
整数对于加法构成群，对于乘法不构成（因为没有逆元）
交换群/(Commutative Group)：
群&交换律
- 交换律： a b = b a ab=ba ab=ba
环 ( R , + , ⋅ ) (R,+,\cdot) (R,+,⋅)/(Ring)：
一个集合 R R R，加法是交换群，乘法是半群.
Z n Z_n Zn是一个环，多项式环 R n = Z n / F ( X ) R_n=Z_n/F(X) Rn=Zn/F(X)也是一个环。
整数 Z \Z Z是一个环。
交换环 ( R , + , ⋅ ) (R,+,\cdot) (R,+,⋅)/(Commutative Ring)：
环，乘法满足交换律
域 ( F , + , ⋅ ) (F,+,\cdot) (F,+,⋅)/(Field)：
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加法和乘法都满足结合律： ( a + b ) + c = a + ( b + c ) , ( a ⋅ b ) ⋅ c = a ⋅ ( b ⋅ c ) (a+b)+c=a+(b+c),(a\cdot b)\cdot c = a\cdot (b \cdot c) (a+b)+c=a+(b+c),(a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)
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加法和乘法都满足交换律： a + b = b + a , a ⋅ b = b ⋅ a a+b=b+a,a \cdot b=b \cdot a a+b=b+a,a⋅b=b⋅a
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加法和乘法单位元： a + 0 = a , a ⋅ 1 = a a+0=a,a\cdot 1=a a+0=a,a⋅1=a
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加法和乘法逆元： a + ( − 1 ) = 0 a+(-1)=0 a+(−1)=0, a ≠ 0 , a ⋅ a − 1 = 1 a\neq0,a\cdot a^{-1}=1 a=0,a⋅a−1=1，
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分配率： a ⋅ ( b + c ) = a ⋅ b + a ⋅ c a\cdot (b+c)=a \cdot b + a\cdot c a⋅(b+c)=a⋅b+a⋅c
实数构成一个域，有理数构成一个域
有限域 ( F , + , ⋅ ) (F,+,\cdot) (F,+,⋅)/(Galois Field):
是域，且集合元素是有限个的
Z q Z_q Zq是一个有限域，当且仅当 q q q是一个素数
环的理想/(ideal)
对于一个任意的环 ( R , + , ⋅ ) (R,+,\cdot) (R,+,⋅)，称 I I I为 R R R的左理想，当且仅当：
- I I I是 R R R的一个加法子群
- ∀ r ∈ R , ∀ x ∈ I , r x ∈ R \forall r\in R,\forall x\in I,rx\in R ∀r∈R,∀x∈I,rx∈R
对于一个任意的环 ( R , + , ⋅ ) (R,+,\cdot) (R,+,⋅)，称 I I I为 R R R的右理想，当且仅当：
- I I I是 R R R的一个加法子群
- ∀ r ∈ R , ∀ x ∈ I , x r ∈ R \forall r\in R,\forall x\in I,xr\in R ∀r∈R,∀x∈I,xr∈R
比如偶数是整数的一个左理想，偶数本身是整数的子集，且偶数是加法群，任意整数和偶数的乘法仍然是个偶数。偶数也是一个右理想，那么偶数简称为整数的理想。
偶数可以理解为 ∀ x ∈ I , x ≡ 0 m o d 2 \forall x\in I,x\equiv 0\bmod 2 ∀x∈I,x≡0mod2，可以写作 2 Z 2\Z 2Z，那么 2 Z 2\Z 2Z就是 Z \Z Z的一个理想。
同理任意 n ∈ Z n\in \Z n∈Z， n Z n\Z nZ也是 Z \Z Z的一个理想。
把这样的理想称作整数由 n n n生成的理想。
原根/(Primitive Root)
∀ g c d ( a , m ) = 1 , a φ ( m ) ≡ 1 m o d m \forall gcd(a,m)=1,a^{\varphi(m)}\equiv 1\bmod m ∀gcd(a,m)=1,aφ(m)≡1modm
如果 e = φ ( m ) e=\varphi(m) e=φ(m)是使得 a e ≡ 1 m o d m a^e \equiv 1\bmod m ae≡1modm满足的最小数的话，则 a a a是原根。
即： a φ ( m ) / 2 ≡ m − 1 m o d m a^{\varphi(m)/2}\equiv m-1 \bmod m aφ(m)/2≡m−1modm，则 a a a是原根。若 a φ ( m ) / 2 ≡ 1 m o d m a^{\varphi(m)/2}\equiv 1 \bmod m aφ(m)/2≡1modm，则 a a a不是原根。
生成/(Generate)
定义 ：设 G G G是一个群, X X X是 G G G的子集. 设 { H i } i ∈ I \left\{H_{i}\right\}_{i \in I} {
Hi}i∈I 是 G G G的包含 X X X 的所有子群, 则 ⋂ i ∈ I H i \bigcap_{i \in I} H_{i} ⋂i∈IHi 叫做 G G G 的由 X X X生成的子群, 记为 ⟨ X ⟩ \langle X\rangle ⟨X⟩，这样的子群也是一个循环群。
当 G G G为乘法群时, 由 X X X生成的子群为
⟨ X ⟩ = { a 1 n 1 ⋯ a t n t ∣ a i ∈ X , n i ∈ Z , 1 ⩽ i ⩽ t } \langle X\rangle = \left\{a_{1}^{n_{1}} \cdots a_{t}^{n_{t}} \mid a_{i} \in X, n_{i} \in \mathbf{Z}, 1 \leqslant i \leqslant t\right\} ⟨X⟩={
a1n1⋯atnt∣ai∈X,ni∈Z,1⩽i⩽t}
特别地, 对任意的 a ∈ G a \in G a∈G, 有
< a > = { a n ∣ n ∈ Z } <a> = \left\{a^{n} \mid n \in \mathbf{Z}\right\} <a>={
an∣n∈Z}
当 G G G为加法群时, 由 X X X生成的子群为
⟨ X ⟩ = { n 1 a 1 + ⋯ + n t a t ∣ a i ∈ X , n i ∈ Z , 1 ⩽ i ⩽ t } . \langle X\rangle = \left\{n_{1} a_{1}+\cdots+n_{t} a_{t} \mid a_{i} \in X, n_{i} \in \mathbf{Z}, 1 \leqslant i \leqslant t\right\} . ⟨X⟩={
n1a1+⋯+ntat∣ai∈X,ni∈Z,1⩽i⩽t}.
特别地, 对任意的 a ∈ G a \in G a∈G, 有
⟨ a ⟩ = { n a ∣ n ∈ Z } . \langle a\rangle = \{n a \mid n \in \mathbf{Z}\} . ⟨a⟩={
na∣n∈Z}.
商环/(Quotient Ring)
理想的一个用途就是用于构造商环。
假设环 R R R的有理想 I I I，定义 R R R上的等价关系 ∼ \sim ∼
a ∼ b ⟺ a − b ∈ I a\sim b \iff a-b\in I a∼b⟺a−b∈I。
这就像一个同余的关系。
由 I I I能构造任意元素 a ∈ R a\in R a∈R的等价类：
[ a ] = a + I : = { a + r : r ∈ I } [a] = a+I:=\{a+r:r\in I\} [a]=a+I:={
a+r:r∈I}
与可以写成 a m o d I a\bmod I amodI。
所有这样的等价类构成一个商环，写作 R / I R/I R/I。
比如整数环 Z \Z Z的理想偶数 2 Z 2\Z 2Z，那么就可以构造两个等价类 [ 0 ] , [ 1 ] [0],[1] [0],[1]， [ 0 ] = { . . . , − 2 , 0 , 2 , 4 , . . . } , [ 1 ] = { . . . − 3 , − 1 , 1 , 3 , . . . } [0]=\{…,-2,0,2,4,…\},[1]=\{…-3,-1,1,3,…\} [0]={
...,−2,0,2,4,...},[1]={
...−3,−1,1,3,...}。
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