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Pytorch 转置卷积

0. 环境介绍

环境使用 Kaggle 里免费建立的 Notebook

教程使用李沐老师的 动手学深度学习 网站和 视频讲解

小技巧：当遇到函数看不懂的时候可以按 Shift+Tab 查看函数详解。

1. 转置卷积（transposed convolution）

卷积不会增大输入的高和宽，通常要么不变，要么减半。而转置卷积则可以用来增大输入高宽。

假设忽略通道，步幅为 1 且填充为 0。输入张量形状为 $n_h\times n_w$，卷积核形状为 $k_h\times k_w$。共产生 $n_h{n}_w$ 个中间结果。每个中间结果都是一个 $(n_h+k_h-1)\times (n_w+k_w-1)$ 的张量（初始化为 0）。计算中间张量的方法：输入张量中的每个元素乘以卷积核，得到 $k_h\times k_w$ 的张量替换中间张量的一部分。
每个中间张量被替换部分的位置与输入张量中元素的位置相对应。 最后，所有中间结果相加以获得最终结果。

中间张量计算公式如下：
$$Y[i:i+h,j:j+w]+=X[i,j]\ast K$$

1.1 为什么称之 “转置” ？

对于卷积 $Y=X★W$ （$★$ 表示卷积操作）

• 可以对 $W$ 构造一个 $V$，使得卷积等价于矩阵乘法 $Y^{\prime }=V{X}^{\prime }$
• 这里 $Y^{\prime }和X^{\prime }$ 是 $Y,X$ 对应的向量版本。

转置卷积则等价于 $Y^{\prime }=V^T{X}^{\prime }$
如果卷积将输入从 $(h,w)$ 变成了 $(h^{\prime },w^{\prime })$

• 同样超参数的转置卷积则从 $(h^{\prime },w^{\prime })$ 变成了 $(h,w)$

2. 转置卷积实现

2.1 转置卷积

!pip install -U d2l
import torch
from torch import nn
from d2l import torch as d2l

def trans_conv(X, K):
    h, w = K.shape
    Y = torch.zeros((X.shape[0] + h - 1, X.shape[1] + w - 1))
    for i in range(X.shape[0]):
        for j in range(X.shape[1]):
            Y[i: i + h, j: j + w] += X[i, j] * K
    return Y

X = torch.tensor([[0.0, 1.0], 
				  [2.0, 3.0]])
K = torch.tensor([[0.0, 1.0], 
                  [2.0, 3.0]])
trans_conv(X, K)

2.2 API 实现

X, K = X.reshape(1, 1, 2, 2), K.reshape(1, 1, 2, 2)
# 前两个参数代表输入通道数， 输出通道数
tconv = nn.ConvTranspose2d(1, 1, kernel_size=2, bias=False)
tconv.weight.data = K
tconv(X)

2.3 填充，步幅和多通道

与常规卷积不同，在转置卷积中，填充被应用于的输出（常规卷积将填充应用于输入）。 例如，当将高和宽两侧的填充数指定为1时，转置卷积的输出中将删除第一和最后的行与列。

tconv = nn.ConvTranspose2d(1, 1, kernel_size=2, padding=1, bias=False)
tconv.weight.data = K
tconv(X)

在转置卷积中，步幅被指定为中间结果（输出），而不是输入。

tconv = nn.ConvTranspose2d(1, 1, kernel_size=2, stride=2, bias=False)
tconv.weight.data = K
tconv(X)

输入 $X$ 的形状，经过卷积后，再经过转置卷积后的形状与原形状相同：

X = torch.rand(size=(1, 10, 16, 16))
conv = nn.Conv2d(10, 20, kernel_size=5, padding=2, stride=3)
tconv = nn.ConvTranspose2d(20, 10, kernel_size=5, padding=2, stride=3)
tconv(conv(X)).shape == X.shape

2.4 与矩阵变换的联系

X = torch.arange(9.0).reshape(3, 3)
K = torch.tensor([[1.0, 2.0], 
	              [3.0, 4.0]])
Y = d2l.corr2d(X, K)
Y

将卷积核 $K$ 重写为包含大量 $0$ 的稀疏权重矩阵 $W$（$4\times 9$）：

def kernel2matrix(K):
    k, W = torch.zeros(5), torch.zeros((4, 9))
    k[:2], k[3:5] = K[0, :], K[1, :]
    W[0, :5], W[1, 1:6], W[2, 3:8], W[3, 4:] = k, k, k, k
    return W

W = kernel2matrix(K)
W

Y == torch.matmul(W, X.reshape(-1)).reshape(2, 2)

Z = trans_conv(Y, K)
Z == torch.matmul(W.T, Y.reshape(-1)).reshape(3, 3)

3. 再谈转置卷积

转置卷积是一种卷积

• 它将输入和核进行了重新排列
• 同卷积一般是做下采样（将高和宽变得更小），而转置卷积通常用作上采样（输出高宽变大）
• 如果卷积将输入从 $(h,w)$ 变成了 $(h^{\prime },w^{\prime })$，同样超参数下转置卷积将 $(h^{\prime },w^{\prime })$ 变成 $(h,w)$。

注：
下采样：由输入图片得到特征图
上采样：由特征图得到预测图

3.1 重新排列输入和核

当填充为 $0$，步幅为 $1$ 时

• 将输入填充 $k-1$ （$k$ 是核窗口）
• 将核矩阵上下、左右翻转
• 然后做正常卷积（填充 $0$， 步幅 $1$）

$(p，s)=(0,1)$

当填充为 $p$，步幅为 $1$ 时

• 将输入填充 $k-p-1$ （$k$ 是核窗口）
• 将核矩阵上下、左右翻转
• 然后做正常卷积（填充 $0$、步幅 $1$）

$(p，s)=(1,1)$

当填充为 $p$，步幅为 $s$ 时

• 在行和列之间插入 $s-1$ 行和列
• 将输入填充 $k-p-1$ （$k$ 是核窗口）
• 将核矩阵上下、左右翻转
• 然后做正常卷积（填充 $0$、步幅 $1$）

$(p，s)=(0,2)$

3.2 形状换算

输入高（宽）为 $n$，核 $k$，填充 $p$，步幅 $s$。
转置卷积：$n^{\prime }=sn+k-2p-s$

• 卷积：$n^{\prime }=\lfloor (n-k-2p+s)/s\rfloor \to n\ge s{n}^{\prime }+k-2p-s$

如果让高宽成倍增加，那么 $k=2p+s$

3.3 转置卷积与反卷积的关系

数学上的反卷积（deconvolution）是指卷积的逆运算

• 如果 $Y=conv(X,K)$，那么 $X=deconv(Y,K)$

反卷积很少用在深度学习中

• 我们说的反卷积神经网络指的是用了转置卷积的神经网络