大家好，又见面了，我是你们的朋友全栈君。
一、动态规划
状态转移方程：
1 从前往后： 2 if(j>=w[i]) 3 m[i][j]=max(m[i-1][j],m[i-1][j-w[i]]+v[i]); 4 else 5 m[i][j]=m[i-1][j]; 6 7 从后往前： 8 if(j>=w[i]) 9 m[i][j]=max(m[i+1][j],m[i+1][j-w[i]]+v[i]); 10 else 11 m[i][j]=m[i+1][j];
算法：
1 从前往后： 2 for(int i=1;i<=n;i++) 3 for(int j=1;j<=c;j++) 4 { 5 if(j>=w[i]) 6 { 7 m[i][j]=max(m[i-1][j],m[i-1][j-w[i]]+v[i]); 8 } 9 else//这里没有考虑j<0的情况，因为算法中j取不到 10 { 11 m[i][j]=m[i-1][j]; 12 } 13 } 14 15 从后往前： 16 for(int i=n;i>=1;i--) 17 for(int j=1;j<=c;j++) 18 { 19 if(j>=w[i]) 20 { 21 m[i][j]=max(m[i+1][j],m[i+1][j-w[i]]+v[i]); 22 } 23 else 24 { 25 m[i][j]=m[i+1][j]; 26 } 27 }
例子：
例：0-1背包问题。在使用动态规划算法求解0-1背包问题时，使用二维数组m[i][j]存储背包剩余容量为j，可选物品为i、i+1、……、n时0-1背包问题的最优值。绘制
重量数组w = {4, 6, 2, 2, 5, 1}，
价值数组v = {8, 10, 6, 3, 7, 2}，
背包容量C = 12时对应的m[i][j]数组。（从前往后）
例题代码 :
1 #include<iostream> 2 #include<cmath> 3 #include<cstring> 4 #define N 20 5 using namespace std; 6 int main() 7 { 8 int w[N]={0,4,6,2,2,5,1},v[N]={0,8,10,6,3,7,2}; 9 int m[N][N]; 10 memset(m,0,sizeof(m)); 11 int n=6,c=12; //n,c均要小于N 12 for(int i=1;i<=n;i++) 13 for(int j=1;j<=c;j++) 14 { 15 if(j>=w[i]) 16 { 17 m[i][j]=max(m[i-1][j],m[i-1][j-w[i]]+v[i]); 18 } 19 else 20 { 21 m[i][j]=m[i-1][j]; 22 } 23 } 24 cout<<m[n][c]<<endl; //从前往后 25 26 /* 27 for(int i=n;i>=1;i--) 28 for(int j=1;j<=c;j++) 29 { 30 if(j>=w[i]) 31 { 32 m[i][j]=max(m[i+1][j],m[i+1][j-w[i]]+v[i]); 33 } 34 else 35 { 36 m[i][j]=m[i+1][j]; 37 } 38 } 39 cout<<m[1][c]<<endl;//从后往前 40 */ 41 return 0; 42 }
二、回溯法
1进入左子树条件：cw+w[i]<=c //cw为当前重量
2进入右子树条件（减枝函数）：cp+r>bestp //cp为当前价值，bestp为当前最优价值，r为当前剩余物品价值总和。cp+r由函数 Bound计算。
3需要先将物品按单位重量价值从大到小排序，按序进入左子树；进入右子树时，由函数Bound计算当前节点上界，只有其上界大于当前最优价值bestp时，才进入右子树，否则减去。
算法：
1 void Backtrack(int i) 2 { 3 if(i>n) //到达叶节点 4 { 5 bestp=cp; 6 return; 7 } 8 if(cw+w[i]<=c) //进入左子树 9 { 10 cw+=w[i]; 11 cp+=v[i]; 12 Backtrack(i+1); 13 cw-=w[i]; 14 cp-=v[i]; 15 } 16 if(Bound(i+1)>bestp) //进入右子树 17 { 18 Backtrack(i+1); 19 } 20 } 21 22 int Bound(int i) //计算上界 23 { 24 int cleft=c-cw; 25 int b=cp; 26 while(i<=n&&w[i]<=cleft) //以物品单位重量价值递减序装入物品 27 { 28 cleft-=w[i]; 29 b+=v[i]; 30 i++; 31 } 32 if(i<=n)//装满背包 33 { 34 b+=v[i]*(cleft/w[i]); 35 } 36 return b; 37 }
例子代码：
1 #include<iostream> 2 #define N 20 3 using namespace std; 4 int w[N]={0,4,6,2,2,5,1},v[N]={0,8,10,6,3,7,2}; 5 int n=6,c=12; 6 int cp=0,cw=0,bestp=0; 7 int Bound(int i) //计算上界 8 { 9 int cleft=c-cw; 10 int b=cp; 11 while(i<=n&&w[i]<=cleft) //以物品单位重量价值递减序装入物品 12 { 13 cleft-=w[i]; 14 b+=v[i]; 15 i++; 16 } 17 if(i<=n)//装满背包 18 { 19 b+=v[i]*(cleft/w[i]); 20 } 21 return b; 22 } 23 void Backtrack(int i) 24 { 25 if(i>n) //到达叶节点 26 { 27 bestp=cp; 28 return; 29 } 30 if(cw+w[i]<=c) //进入左子树 31 { 32 cw+=w[i]; 33 cp+=v[i]; 34 Backtrack(i+1); 35 cw-=w[i]; 36 cp-=v[i]; 37 } 38 if(Bound(i+1)>bestp) //进入右子树 39 { 40 Backtrack(i+1); 41 } 42 } 43 44 int main() 45 { 46 Backtrack(1); 47 cout<<bestp<<endl; 48 return 0; 49 }
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