BP神经网络原理及实现

大家好，又见面了，我是你们的朋友全栈君。

BP神经网络原理

经典的BP神经网络通常由三层组成: 输入层，隐含层与输出层.通常输入层神经元的个数与特征数相关，输出层的个数与类别数相同，隐含层的层数与神经元数均可以自定义.

每个神经元代表对数据的一次处理:
在这里插入图片描述
每个隐含层和输出层神经元输出与输入的函数关系为:

在这里插入图片描述

其中Wij表示神经元i与神经元j之间连接的权重，Oj代表神经元j的输出， sigmod是一个特殊的函数用于将任意实数映射到(0，1)区间.

上文中的sigmod函数称为神经元的激励函数(activation function)，除了sigmod函数1/1+e^-IL外，常用还有tanh和ReLU函数.

我们用一个完成训练的神经网络处理回归问题，每个样本拥有n个输入.相应地，神经网络拥有n个输入神经元和1个输出神经元.

实际应用中我们通常在输入层额外增加一个偏置神经元，提供一个可控的输入修正;或者为每个隐含层神经元设置一个偏置参数.

我们将n个特征依次送入输入神经元，隐含层神经元获得输入层的输出并计算自己输出值，输出层的神经元根据隐含层输出计算出回归值.

上述过程一般称为前馈(Feed-Forward)过程，该过程中神经网络的输入输出与多维函数无异.

现在我们的问题是如何训练这个神经网络.

作为监督学习算法，BP神经网络的训练过程即是根据前馈得到的预测值和参考值比较，根据误差调整连接权重Wij的过程.

训练过程称为反向传播过程(BackPropagation)，数据流正好与前馈过程相反.

首先我们随机初始化连接权重Wij，对某一训练样本进行一次前馈过程得到各神经元的输出.

首先计算输出层的误差:

Ej=sigmod′(Oj)∗(Tj−Oj)=Oj(1−Oj)(Tj−Oj)

其中Ej代表神经元j的误差，Oj表示神经元j的输出， Tj表示当前训练样本的参考输出， sigmod′(x)是上文sigmod函数的一阶导数.

在这里插入图片描述
计算隐含层误差:

Ej=sigmod′(Oj)∗∑kEkWjk=Oj(1−Oj)∑kEkWjk

隐含层输出不存在参考值，使用下一层误差的加权和代替(Tj−Oj).

计算完误差后就可以更新Wij和θj:

Wij=Wij+λEjOi

其中λ是一个称为学习率的参数，一般在(0，0.1)区间上取值.

实际上为了加快学习的效率我们引入称为矫正矩阵的机制，矫正矩阵记录上一次反向传播过程中的EjOi值，这样Wj更新公式变为:

Wij=Wij+λEjOi+μCij

μ是一个称为矫正率的参数.随后更新矫正矩阵:

Cij=EjOi

每一个训练样本都会更新一次整个网络的参数.我们需要额外设置训练终止的条件.

最简单的训练终止条件为设置最大迭代次数，如将数据集迭代1000次后终止训练.

单纯的设置最大迭代次数不能保证训练结果的精确度，更好的办法是使用损失函数(loss function)作为终止训练的依据.

损失函数可以选用输出层各节点的方差:

L=∑j(Tj−Oj)2

为了避免神经网络进行无意义的迭代，我们通常在训练数据集中抽出一部分用作校验.当预测误差高于阈值时提前终止训练.

Python实现BP神经网络

首先实现几个工具函数:

def rand(a, b):
	return (b - a) * random.random() + a

def make_matrix(m, n, fill=0.0):  # 创造一个指定大小的矩阵
    mat = []
    for i in range(m):
        mat.append([fill] * n)
    return mat

定义sigmod函数和它的导数:

def sigmoid(x):
    return 1.0 / (1.0 + math.exp(-x))

def sigmod_derivate(x):
    return x * (1 - x)

定义BPNeuralNetwork类，使用三个列表维护输入层，隐含层和输出层神经元，列表中的元素代表对应神经元当前的输出值.使用两个二维列表以邻接矩阵的形式维护输入层与隐含层，隐含层与输出层之间的连接权值，通过同样的形式保存矫正矩阵.

定义setup方法初始化神经网络:

    def setup(self, ni, nh, no):
        self.input_n = ni + 1  # 因为需要多加一个偏置神经元，提供一个可控的输入修正
        self.hidden_n = nh
        self.output_n = no
        # 初始化神经元
        self.input_cells = self.input_n * [1.0]
        self.hidden_cells = self.hidden_n * [1.0]
        self.output_cells = self.output_n * [1.0]
        # 初始化权重矩阵
        self.input_weights = make_matrix(self.input_n, self.hidden_n)
        self.output_weights = make_matrix(self.hidden_n, self.output_n)
        # 权重矩阵随机激活
        for i in range(self.input_n):
            for h in range(self.hidden_n):
                self.input_weights[i][h] = rand(-0.2, 0.2)

        for h in range(self.hidden_n):
            for o in range(self.output_n):
                self.output_weights[h][o] = rand(-0.2, 0.2)

        # 初始化矫正矩阵
        self.input_correction = make_matrix(self.input_n, self.hidden_n)
        self.output_correction = make_matrix(self.hidden_n, self.output_n)

定义predict方法进行一次前馈，并返回输出:

    def predict(self, inputs):
        # 激活输入层
        for i in range(self.input_n - 1):
            self.input_cells[i] = inputs[i]
        # 激活隐藏层
        for j in range(self.hidden_n):
            total = 0.0
            for i in range(self.input_n):
                total += self.input_cells[i] * self.input_weights[i][j]
            self.hidden_cells[j] = sigmoid(total)
        for k in range(self.output_n):
            total = 0.0
            for j in range(self.hidden_n):
                total += self.hidden_cells[j] * self.output_weights[j][k]
            self.output_cells[k] = sigmoid(total)
        return self.output_cells[:]

定义back_propagate方法定义一次反向传播和更新权值的过程，并返回最终预测误差:

    def back_propagate(self, case, label, learn, correct):
        # 前馈
        self.predict(case)
        # 获取输出层误差
        output_deltas = [0.0] * self.output_n
        for o in range(self.output_n):
            error = label[o] - self.output_cells[o]
            output_deltas[o] = sigmod_derivate(self.output_cells[o]) * error
        # 获取隐藏层误差
        hidden_deltas = [0.0] * self.hidden_n
        for h in range(self.hidden_n):
            error = 0.0
            for o in range(self.output_n):
                error += output_deltas[o] * self.output_weights[h][o]
            hidden_deltas[h] = sigmod_derivate(self.hidden_cells[h]) * error
        # 更新输出权重
        for h in range(self.hidden_n):
            for o in range(self.output_n):
                # Wij=Wij+λEjOi+μCij
                change = output_deltas[o] * self.hidden_cells[h]
                self.output_weights[h][o] += learn * change + correct * self.output_correction[h][o]
        # 更新输入权重
        for i in range(self.input_n):
            for h in range(self.hidden_n):
                # Wij=Wij+λEjOi+μCij
                change = hidden_deltas[h] * self.input_cells[i]
                self.input_weights[i][h] += learn * change + correct * self.input_correction[i][h]
                self.input_correction[i][h] = change

        # 获取全局误差
        error = 0.0
        for o in range(len(label)):
            error += 0.5 * (label[o] - self.output_cells[o]) ** 2
        return error

定义train方法控制迭代，该方法可以修改最大迭代次数，学习率λ，矫正率μ三个参数.

    def train(self, cases, labels, limit=10000, learn=0.05, correct=0.1):
        for i in range(limit):
            error = 0.0
            for i in range(len(cases)):
                label = labels[i]
                case = cases[i]
                error += self.back_propagate(case, label, learn, correct)

编写test方法，演示如何使用神经网络学习异或逻辑:

def test(self):
	cases = [
            [0， 0]，
            [0， 1]，
            [1， 0]，
            [1， 1]，
        ]
	labels = [[0]， [1]， [1]， [0]]
	self.setup(2， 5， 1)  # 设置各层的神经元数量
	self.train(cases， labels， 10000， 0.5， 0.1)
	for case in cases:
		print(self.predict(case))