信号分析与处理1「建议收藏」

（此帖引至网络资源，仅供参考学习）
第一：频谱

一.调用方法

X=FFT(x)；
X=FFT(x，N)；
x=IFFT(X);
x=IFFT(X,N)

用MATLAB进行谱分析时注意：

（1）函数FFT返回值的数据结构具有对称性。

例：
N=8;
n=0:N-1;
xn=[4 3 2 6 7 8 9 0];
Xk=fft(xn)

→
Xk =
39.0000            -10.7782 + 6.2929i         0 – 5.0000i    4.7782 – 7.7071i    5.0000              4.7782 + 7.7071i         0 + 5.0000i -10.7782 – 6.2929i

Xk与xn的维数相同，共有8个元素。Xk的第一个数对应于直流分量，即频率值为0。

（2）做FFT分析时，幅值大小与FFT选择的点数有关，但不影响分析结果。在IFFT时已经做了处理。要得到真实的振幅值的大小，只要将得到的变换后结果乘以2除以N即可。

二.FFT应用举例

例1：x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t)。采样频率fs=100Hz，分别绘制N=128、1024点幅频图。

clf;
fs=100;N=128;    %采样频率和数据点数
n=0:N-1;t=n/fs;    %时间序列
x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t); %信号
y=fft(x,N);     %对信号进行快速Fourier变换
mag=abs(y);      %求得Fourier变换后的振幅
f=n*fs/N;     %频率序列
subplot(2,2,1),plot(f,mag);    %绘出随频率变化的振幅
xlabel(‘频率/Hz’);
ylabel(‘振幅’);title(‘N=128’);grid on;
subplot(2,2,2),plot(f(1:N/2),mag(1:N/2)); %绘出Nyquist频率之前随频率变化的振幅
xlabel(‘频率/Hz’);
ylabel(‘振幅’);title(‘N=128’);grid on;
%对信号采样数据为1024点的处理
fs=100;N=1024;n=0:N-1;t=n/fs;
x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t); %信号
y=fft(x,N);    %对信号进行快速Fourier变换
mag=abs(y);    %求取Fourier变换的振幅
f=n*fs/N;
subplot(2,2,3),plot(f,mag); %绘出随频率变化的振幅
xlabel(‘频率/Hz’);
ylabel(‘振幅’);title(‘N=1024’);grid on;
subplot(2,2,4)
plot(f(1:N/2),mag(1:N/2)); %绘出Nyquist频率之前随频率变化的振幅
xlabel(‘频率/Hz’);
ylabel(‘振幅’);title(‘N=1024’);grid on;

        fs=100Hz，Nyquist频率为fs/2=50Hz。整个频谱图是以Nyquist频率为对称轴的。并且可以明显识别出信号中含有两种频率成分：15Hz和40Hz。由此可以知道FFT变换数据的对称性。因此用FFT对信号做谱分析，只需考察0~Nyquist频率范围内的福频特性。若没有给出采样频率和采样间隔，则分析通常对归一化频率0~1进行。另外，振幅的大小与所用采样点数有关，采用128点和1024点的相同频率的振幅是有不同的表现值，但在同一幅图中，40Hz与15Hz振动幅值之比均为4：1，与真实振幅0.5：2是一致的。为了与真实振幅对应，需要将变换后结果乘以2除以N。

例2：x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t),fs=100Hz,绘制：
（1）数据个数N=32，FFT所用的采样点数NFFT=32；
（2）N=32，NFFT=128；
（3）N=136，NFFT=128；
（4）N=136，NFFT=512。

clf;fs=100; %采样频率
Ndata=32; %数据长度
N=32; %FFT的数据长度
n=0:Ndata-1;t=n/fs;    %数据对应的时间序列
x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t);    %时间域信号
y=fft(x,N);    %信号的Fourier变换
mag=abs(y);     %求取振幅
f=(0:N-1)*fs/N; %真实频率
subplot(2,2,1),plot(f(1:N/2),mag(1:N/2)*2/N); %绘出Nyquist频率之前的振幅
xlabel(‘频率/Hz’);ylabel(‘振幅’);
title(‘Ndata=32 Nfft=32’);grid on;
Ndata=32;    %数据个数
N=128;      %FFT采用的数据长度
n=0:Ndata-1;t=n/fs;    %时间序列
x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t);
y=fft(x,N);
mag=abs(y);
f=(0:N-1)*fs/N; %真实频率
subplot(2,2,2),plot(f(1:N/2),mag(1:N/2)*2/N); %绘出Nyquist频率之前的振幅
xlabel(‘频率/Hz’);ylabel(‘振幅’);
title(‘Ndata=32 Nfft=128’);grid on;
Ndata=136;    %数据个数
N=128;      %FFT采用的数据个数
n=0:Ndata-1;t=n/fs; %时间序列
x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t);
y=fft(x,N);
mag=abs(y);
f=(0:N-1)*fs/N;    %真实频率
subplot(2,2,3),plot(f(1:N/2),mag(1:N/2)*2/N); %绘出Nyquist频率之前的振幅
xlabel(‘频率/Hz’);ylabel(‘振幅’);
title(‘Ndata=136 Nfft=128’);grid on;
Ndata=136;     %数据个数
N=512;     %FFT所用的数据个数
n=0:Ndata-1;t=n/fs; %时间序列
x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t);
y=fft(x,N);
mag=abs(y);
f=(0:N-1)*fs/N;    %真实频率
subplot(2,2,4),plot(f(1:N/2),mag(1:N/2)*2/N); %绘出Nyquist频率之前的振幅
xlabel(‘频率/Hz’);ylabel(‘振幅’);
title(‘Ndata=136 Nfft=512’);grid on;

结论：
（1）当数据个数和FFT采用的数据个数均为32时，频率分辨率较低，但没有由于添零而导致的其他频率成分。
（2）由于在时间域内信号加零，致使振幅谱中出现很多其他成分，这是加零造成的。其振幅由于加了多个零而明显减小。
（3）FFT程序将数据截断，这时分辨率较高。
（4）也是在数据的末尾补零，但由于含有信号的数据个数足够多，FFT振幅谱也基本不受影响。

      对信号进行频谱分析时，数据样本应有足够的长度，一般FFT程序中所用数据点数与原含有信号数据点数相同，这样的频谱图具有较高的质量，可减小因补零或截断而产生的影响。
例3：x=cos(2*pi*0.24*n)+cos(2*pi*0.26*n)

（1）数据点过少，几乎无法看出有关信号频谱的详细信息；
（2）中间的图是将x(n)补90个零，幅度频谱的数据相当密，称为高密度频谱图。但从图中很难看出信号的频谱成分。
（3）信号的有效数据很长，可以清楚地看出信号的频率成分，一个是0.24Hz，一个是0.26Hz，称为高分辨率频谱。
         可见，采样数据过少，运用FFT变换不能分辨出其中的频率成分。添加零后可增加频谱中的数据个数，谱的密度增高了，但仍不能分辨其中的频率成分，即谱的分辨率没有提高。只有数据点数足够多时才能分辨其中的频率成分。

第二： 相谱
（相位谱和频率普是回事儿，想着把频谱中的幅值部分换成相角就可以了）
  由于没有找到具体的理论，就举几个例子说明一下。
    比如要求y=sin(2*pi*60*t) 的相位谱，
程序如下：
fs=200;N=1024;n=0:N-1;t=n/fs;y=sin(2*pi*60*t);
Y=fft(y,N);
A=abs(Y);f=n*fs/N;
ph=2*angle(Y(1:N/2));
ph=ph*180/pi;
plot(f(1:N/2),ph(1:N/2));
xlabel(‘频率/hz’),ylabel(‘相角’),title(‘相位谱’);
grid on;
期中的 ph=2*angle(Y(1:N/2));ph=ph*180/pi;是利用angle函数求出每个点的角度，并由弧度转化成角度！
angle函数解释：

Phase angle 

Syntax
P = angle(Z)

Description

P = angle(Z) returns the phase angles, in radians, for each element of complex array Z. The angles lie between ±π.

For complex Z, the magnitude R and phase angle theta are given by

R = abs(Z)
theta = angle(Z)
and the statement

Z = R.*exp(i*theta)
converts back to the original complex Z.

Examples
Z = [ 1 – 1i   2 + 1i   3 – 1i   4 + 1i

      1 + 2i   2 – 2i   3 + 2i   4 – 2i
      1 – 3i   2 + 3i   3 – 3i   4 + 3i

P = angle(Z)

P =

   -0.7854    0.4636   -0.3218    0.2450
    1.1071   -0.7854    0.5880   -0.4636
   -1.2490    0.9828   -0.7854    0.6435
    1.3258   -1.1071    0.9273   -0.7854
Algorithms

The angle function can be expressed as angle(z) = imag(log(z)) = atan2(imag(z),real(z)). 

第三：功率谱
matlab实现经典功率谱估计
fft做出来是频谱，psd做出来是功率谱；功率谱丢失了频谱的相位信息；频谱不同的信号其功率谱是可能相同的；功率谱是幅度取模后平方，结果是个实数
matlab中自功率谱密度直接用psd函数就可以求，按照matlab的说法，psd能实现Welch法估计，即相当于用改进的平均周期图法来求取随机信号的功率谱密度估计。psd求出的结果应该更光滑吧。
1、直接法：
直接法又称周期图法，它是把随机序列x(n)的N个观测数据视为一能量有限的序列，直接计算x(n)的离散傅立叶变换，得X(k)，然后再取其幅值的平方，并除以N，作为序列x(n)真实功率谱的估计。
Matlab代码示例：
clear;
Fs=1000; %采样频率
n=0:1/Fs:1;
%产生含有噪声的序列
xn=cos(2*pi*40*n)+3*cos(2*pi*100*n)+randn(size(n));
window=boxcar(length(xn)); %矩形窗
nfft=1024;
[Pxx,f]=periodogram(xn,window,nfft,Fs); %直接法
plot(f,10*log10(Pxx));

2、间接法：
间接法先由序列x(n)估计出自相关函数R(n)，然后对R(n)进行傅立叶变换，便得到x(n)的功率谱估计。
Matlab代码示例：
clear;
Fs=1000; %采样频率
n=0:1/Fs:1;
%产生含有噪声的序列
xn=cos(2*pi*40*n)+3*cos(2*pi*100*n)+randn(size(n));
nfft=1024;
cxn=xcorr(xn,’unbiased’); %计算序列的自相关函数
CXk=fft(cxn,nfft);
Pxx=abs(CXk);
index=0:round(nfft/2-1);
k=index*Fs/nfft;
plot_Pxx=10*log10(Pxx(index+1));
plot(k,plot_Pxx);

3、改进的直接法：对于直接法的功率谱估计，当数据长度N太大时，谱曲线起伏加剧，若N太小，谱的分辨率又不好，因此需要改进。
3.1、Bartlett法
Bartlett平均周期图的方法是将N点的有限长序列x(n)分段求周期图再平均。
Matlab代码示例：
clear；
Fs=1000;
n=0:1/Fs:1;
xn=cos(2*pi*40*n)+3*cos(2*pi*100*n)+randn(size(n));
nfft=1024;
window=boxcar(length(n)); %矩形窗
noverlap=0; %数据无重叠
p=0.9; %置信概率
[Pxx,Pxxc]=psd(xn,nfft,Fs,window,noverlap,p);
index=0:round(nfft/2-1);
k=index*Fs/nfft;
plot_Pxx=10*log10(Pxx(index+1));
plot_Pxxc=10*log10(Pxxc(index+1));
figure(1)
plot(k,plot_Pxx);
pause;
figure(2)
plot(k,[plot_Pxx plot_Pxx-plot_Pxxc plot_Pxx+plot_Pxxc]);

3.2、Welch法
Welch法对Bartlett法进行了两方面的修正，一是选择适当的窗函数w(n)，并再周期图计算前直接加进去，加窗的优点是无论什么样的窗函数均可使谱估计非负。二是在分段时，可使各段之间有重叠，这样会使方差减小。
Matlab代码示例：
clear;
Fs=1000;
n=0:1/Fs:1;
xn=cos(2*pi*40*n)+3*cos(2*pi*100*n)+randn(size(n));
nfft=1024;
window=boxcar(100); %矩形窗
window1=hamming(100); %海明窗
window2=blackman(100); %blackman窗
noverlap=20; %数据无重叠
range=’half’; %频率间隔为[0 Fs/2]，只计算一半的频率
[Pxx,f]=pwelch(xn,window,noverlap,nfft,Fs,range);
[Pxx1,f]=pwelch(xn,window1,noverlap,nfft,Fs,range);
[Pxx2,f]=pwelch(xn,window2,noverlap,nfft,Fs,range);
plot_Pxx=10*log10(Pxx);
plot_Pxx1=10*log10(Pxx1);
plot_Pxx2=10*log10(Pxx2);

figure(1)
plot(f,plot_Pxx);
pause;
figure(2)
plot(f,plot_Pxx1);
pause;
figure(3)
plot(f,plot_Pxx2); 

第四： 相关性分析
1. 首先说说自相关和互相关的概念。

    分别用这两个函数对同一个序列计算，为什么结果不太一样？因为xcorr是没有将均值减掉做的相关，autocorr则是减掉了均值的。而且，用离散信号做自相关时，信号截取长度（采样点N）不一样，自相关函数就不一样。
（3）xcorr是计算互相关函数，带有一个option的参数:
a=xcorr(x,y,’option’)
option=baised时，是计算互相关函数的有偏估计；
option=unbaised时，是计算互相关函数的无偏估计；
option=coeff时，是计算归一化的互相关函数，即为互相关系数，在-1至1之间；
option=none，是缺省的情况。
所以想要计算互相关系数，可用’coeff’参数。
*************************************************************************
用这个xcorr函数作离散互相关运算时要注意，当x, y是不等长向量时，短的向量会自动填0与长的对齐，运算结果是行向量还是列向量就与x一样。
互相关运算计算的是x,y两组随机数据的相关程度，使用参数coeff时，结果就是互相关系数，在-1至1之间，否则结果不一定在这范围，有可能很大也有可能很小，这视乎x, y数据的大小，所以一般要计算两组数据的相关程度，一般选择coeff参数，对结果进行归一化。
所谓归一化简单理解就是将数据系列缩放到-1到1范围，正式的就是一种简化计算的方式，即将有量纲的表达式，经过变换，化为无量纲的表达式，成为纯量。变换式为X=(X实测–Xmin)/(Xmax-Xmin)。
一般来说选择归一化进行互相关运算后，得到结果绝对值越大，两组数据相关程度就越高。