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已知抛物线 \(C:x^2=2py\) ，弦 \(AB\) 过 \(C\) 的焦点 \(F\) ，过 \(A,B\) 两点作抛物线 \(C\) 的两条切线，若两切线相交于点 \(P\) ，则
(1) \(AP\perp PB\) ；
(2) 点 \(P\) 在抛物线 \(C\) 的准线上。
证明：设 \(A\Big(x_1,\dfrac{x_1^2}{2p}\Big),B\Big(x_2,\dfrac{x_2^2}{2p}\Big),P(x_0,y_0)\) ，设过点 \(P\) 的切线斜率为 \(k\) ，则切线方程为 \(y=y_0+k(x-x_0)\) ，联立抛物线方程得
令 \(\Delta=0\) 得
故
所以
则 \(A\Big(pk_1,\dfrac{pk_1^2}{2}\Big), B\Big(pk_2,\dfrac{pk_2^2}{2}\Big)\)，由 \(A,F,B\) 三点共线得 \(k_{AF}=k_{FB}\) ，即
化简得
因为 \(k_1\neq k_2\) ，所以 \(k_1k_2=-1\) , 所以 \(AP\perp PB\) .
又 \(k_1k_2=\dfrac{2y_0}{p}=-1\) ，所以 \(y_0=-\dfrac{p}{2}\) . 所以点 \(P\) 在抛物线的准线上。
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