链式求导法则公式_链式法则求导基础题

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原题链接

“计算图”（computational graph）是现代深度学习系统的基础执行引擎，提供了一种表示任意数学表达式的方法，例如用有向无环图表示的神经网络。图中的节点表示基本操作或输入变量，边表示节点之间的中间值的依赖性。例如，下图就是一个函数 ( 的计算图。

在这里插入图片描述

现在给定一个计算图，请你根据所有输入变量计算函数值及其偏导数（即梯度）。例如，给定输入,，上述计算图获得函数值 (；并且根据微分链式法则，上图得到的梯度 ∇。

知道你已经把微积分忘了，所以这里只要求你处理几个简单的算子：加法、减法、乘法、指数（ex，即编程语言中的 exp(x) 函数）、对数（ln，即编程语言中的 log(x) 函数）和正弦函数（sin，即编程语言中的 sin(x) 函数）。

友情提醒：

常数的导数是 0；x 的导数是 1；ex 的导数还是 ex；ln 的导数是 1；sin 的导数是 cos。
回顾一下什么是偏导数：在数学中，一个多变量的函数的偏导数，就是它关于其中一个变量的导数而保持其他变量恒定。在上面的例子中，当我们对 x1 求偏导数 / 时，就将 x2 当成常数，所以得到 ln 的导数是 1，x1x2 的导数是 x2，sin 的导数是 0。
回顾一下链式法则：复合函数的导数是构成复合这有限个函数在相应点的导数的乘积，即若有 (，(，则 /。例如对 sin 求导，就得到 cos。
如果你注意观察，可以发现在计算图中，计算函数值是一个从左向右进行的计算，而计算偏导数则正好相反。

输入格式：
输入在第一行给出正整数 N（≤），为计算图中的顶点数。

以下 N 行，第 i 行给出第 i 个顶点的信息，其中 ,。第一个值是顶点的类型编号，分别为：

0 代表输入变量
1 代表加法，对应 x1+x2
2 代表减法，对应 x1−x2
3 代表乘法，对应 x1×x2
4 代表指数，对应 ex
5 代表对数，对应 ln
6 代表正弦函数，对应 sin
对于输入变量，后面会跟它的双精度浮点数值；对于单目算子，后面会跟它对应的单个变量的顶点编号（编号从 0 开始）；对于双目算子，后面会跟它对应两个变量的顶点编号。

题目保证只有一个输出顶点（即没有出边的顶点，例如上图最右边的 -），且计算过程不会超过双精度浮点数的计算精度范围。

输出格式：
首先在第一行输出给定计算图的函数值。在第二行顺序输出函数对于每个变量的偏导数的值，其间以一个空格分隔，行首尾不得有多余空格。偏导数的输出顺序与输入变量的出现顺序相同。输出小数点后 3 位。

输入样例：

11.652
5.500 1.716

题解
将每个节点的输入节点编号存入到节点结构体中，然后先正向bfs求每个节点的输出值，然后再方向求每个节点的导数，注意求导数的时候每个节点存储的导数是其输出变量的导数，求解的时候应该按照不同路径的导数相加，同一路径上的导数相乘。
无论是正向还是方向均应按照拓扑序求解

#include<bits/stdc++.h>
#include<cmath>
#define x first
#define y second
#define send string::npos
#define lowbit(x) (x&(-x))
#define left(x) x<<1
#define right(x) x<<1|1
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> PII;
typedef struct Node * pnode;
const int N = 1e6 + 10;
const int M = 3 * N;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const ll LINF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const int Mod = 1e9;
int out[N],in[N];
struct Node{ 
   
    double v,f;    //v代表此节点输出值,f代表输出值导数
    int la,lb;
    int op;
}node[N];
int head[N],cnt;
int q[N],tt = 0,hh = 0;
vector<int>s;   //起始节点
struct Edge{ 
   
    int v,next;
}edge[2 * M];
void add(int u,int v){ 
   
    edge[cnt].v = v;
    edge[cnt].next = head[u];
    head[u] = cnt ++;
}
double op123(int t,double a,double b){ 
   
    if(t == 1)return a + b;
    if(t == 2)return a - b;
    if(t == 3)return a * b;
}
double op456(int t,double a){ 
   
    if(t == 4)return exp(a);
    if(t == 5)return log(a);
    if(t == 6)return sin(a);
}
void bfs(){ 
   
    for(int i = 0;i < s.size();i ++)q[tt ++] = s[i];
    while(hh < tt){ 
   
        int t = q[hh ++];
// cout<<t<<endl;
        double a = node[node[t].la].v,b = node[node[t].lb].v;
        int type = node[t].op;
        if(type == 1 || type == 2 || type == 3)node[t].v = op123(type,a,b);
        else if(type != 0)node[t].v = op456(type,a);
// cout<<t<<" "<<type<<" "<<node[t].v<<endl;
        for(int i = head[t];~i;i = edge[i].next){ 
   
            int v = edge[i].v;
            in[v] --;
            if(in[v] == 0)	//如果此处不按拓扑序，则会产生大量的重复节点
                q[tt ++] = v;
        }
    }
}
void top(int root){ 
   
    hh = tt = 0;
    q[tt ++] = root;
    while(hh < tt){ 
   
        int t = q[hh ++];
// cout<<t<<endl;
        if(node[t].op == 1 || node[t].op == 2 || node[t].op == 3){ 
   
            if(node[t].op == 1){ 
   
                node[node[t].la].f += (1 * node[t].f);
                node[node[t].lb].f += (1 * node[t].f);
            }else if(node[t].op == 2){ 
   
                node[node[t].la].f += (1 * node[t].f);
                node[node[t].lb].f += (-1 * node[t].f);
            }else{ 
   
                node[node[t].la].f += (node[node[t].lb].v * node[t].f);
                node[node[t].lb].f += (node[node[t].la].v * node[t].f);
            }
            out[node[t].la] --,out[node[t].lb] --;
            if(out[node[t].la] == 0)q[tt ++] = node[t].la;
            if(out[node[t].lb] == 0)q[tt ++] = node[t].lb;
        }
        else if(node[t].op != 0){ 
   
            if(node[t].op == 4)node[node[t].la].f += (node[t].v * node[t].f);
            else if(node[t].op == 5)node[node[t].la].f += (node[t].f / node[node[t].la].v) ;
            else node[node[t].la].f += (cos(node[node[t].la].v) * node[t].f);
            out[node[t].la] --;
            if(out[node[t].la] == 0)q[tt ++] = node[t].la;
        }
    }
}
int main(){ 
   
    memset(head,-1,sizeof head);
    int n,t,a,b;
    double x;
    cin>>n;
    for(int i = 0;i < n;i ++){ 
   
        cin>>t;
        if(t == 0){ 
   
            cin>>x;
            s.push_back(i);
            node[i].v = x;
        }
        else if(t == 1 || t == 2 || t == 3){ 
   
            cin>>a>>b;
            add(a,i);
            add(b,i);
            out[a] ++,out[b] ++;
            in[i] ++,in[i] ++;
            node[i].la = a,node[i].lb = b;
        }else if(t == 4 || t == 5 || t == 6){ 
   
            cin>>a;
            add(a,i);
            out[a] ++;
            in[i] ++;
            node[i].la = a;
        }
        node[i].op = t;
    }
    int root = -1;
    for(int i = 0;i < n;i ++)
        if(!out[i])
            root = i;
// cout<<"root:"<<root<<endl;
    bfs();
    node[root].f = 1;		//最后一个节点的输出值导数应该为1
    top(root);
    printf("%.3f\n%.3f",node[root].v,node[s[0]].f);
    for(int i = 1;i < s.size();i ++)printf(" %.3f",node[s[i]].f);
    return 0;
}