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裴礼文《数学分析中的典型问题与方法》
第2天31~60
第1章 一元函数极限
3.求极限值的若干方法
- 利用等价代换和初等变形求极限。
- 等价代换。
- 先求出可以求出来的值。
- 根号内最好转变为一个常数和一个分式的和。
- 等价无穷小代换。
- 注意只有在x出现的时候才可以用，如果是常数不能用等价无穷小代换，比如说1.3.1的第4问。efx-eb不能等价代换成efx-1-eb+1因为必是常数，所以不能够这样等价无穷小代换。应该以整体的思想，然后进行等价无穷小代换。
- 等价代换原理，源于分数的约分，单项不可做等价代换。
- 利用初等变形求极限。
- 把xn化简之后的形式写出来，你先写你不写一定观察不出来，写出来才观察的出来。
- i三次方求和等于i求和的平方。
- 等价代换。
- 利用已知极限。
- 利用两个重要极限。
- 例1.3.3(1)难(2)同1的方法。
- 1.3.4, 第2问用了第1问的结论。用了约分法的逆运算
- 利用欧拉常数计算极限。欧拉常数的极限但是的左端是1/n求和。所以遇到n/1求和的时候，可以用欧拉常数的极限结果进行计算。当然是能消掉欧拉常数的时候是最好的。
- stIrlIng公式。拆开求积项
- 利用变量替换求极限。
- 把每一个已知的变量求极限，用积分的形式求出来，然后代入需要求的体现式子中，通过有界，组合，变为0消去。
- 两边夹法则。
- 1.3.9想不到。
- 1.3.10难想不到
- 两边夹法则的推广形式。可能会考，只保留最重要的n次就可以了。Important
- 求极限其他常用方法。
- 洛必达法则。
- 无穷比无穷的分子可以是任意的。
- 洛比达法则使用过程中也会用到等价关系。
- 但有的时候不能够直接带话，比如说例1.3.12第2问。
- 利用泰勒公式求极限。
- 分子分母展开到同一次方项Important
- 常见泰勒公式的记忆法。『来自知乎』记住一个，拆成两个，去首项，去阶乘，正负交错，二项公式拿来用。记住一个e^x可以拆成sin和cos，cos为e^x的奇数项，其中正负交错，sin为偶数项，也是正负交错。ln等于e^x去首项，去阶乘，正负交错，(1+x)＾m用二项公式。
- 当然还有一个泰勒公式1/(1-x)=∑x＾i
- 关于泰勒公式中二项式展开中分数组合函数的计算。C_{1/2}^2=[1/2×（1/2-1）]/2！=-1/8等同于公式C_n^m=n·(n-1)……(n-m+1)/m!
- 利用积分定义求极限。利用积分的定义。同时可以用两边夹法则。
- 利用级数求解极限问题。利用极限通向趋于0。
- 利用收敛级数余项趋于0。级数收敛的必要条件就是通项趋于0，余项也趋于0。
- 利用级数∑|xn-xn-1|的收敛性。
- 利用连续性求极限。例1.3.19具有特殊性。
- 综合性例题
- 例1.3.20
- 方法一：设各种元素，然后带入。
- 方法二：两边夹法则。
- 例1.3.21
- 利用e^x的求导特性。积分求得fx的表达式，然后洛必达法则。
- 例1.3.22
- 同样利用e^-x的求导特性，通过积分求得fx的表达式。
- 例1.3.23
- 把极限写成导数定义中的形式。思想很重要
- 例1.3.24
- 高阶无穷大量
- 例1.3.20
- 练习1.3
- 1.3.1把加减变成乘积进行约分
- 洛必达法则。
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- 1.3.2vieta公式的证明
- 1.3.3洛比达法则。
- 1.3.4换元，洛比达法则。
- 1.3.5换底公式，洛必达法则。
- 1.3.6两边夹法则。
- 1.3.7两边夹法则。
- 1.3.8等价无穷小代换。a^x-1～xlna，(1+x)^a-1～ax
- 1.3.9(1)凑(2)利用第1问的结论。
- 1.3.10两边夹法则。大于单个最大值，小于整个最大值。
- 1.3.11洛比达法则。分情况讨论sinx
- 1.3.12洛比达法则，变限积分求导(原函数存在定理)。
- 1.3.13把乘除改为加减，用洛必达法则。
- 1.3.14基础。
- 1.3.15提出x的6次方，然后泰勒展开。
- 1.3.16方法很多提出n的k次方，用等价无穷小代换。
- 1.3.17用1的无穷次方。然后将tanx用分数的形式替换。运用洛必达法则。注意有的是常数，可以提出来。
- 1.3.18洛必达法则。
- 1.3.19提出x的1/4次方，然后用泰勒展开(二项展开式)
- 1.3.20微分中值公式，注意函数是sinx。所以自变量是根号x。
- 1.3.21微分中值公式。
- 1.3.22洛必达法则直接得出结论。
- 1.3.23难。
- 1.3.24难一的无穷次方。
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