在数学中有许多空间表示，比如向量空间、内积空间、欧式空间以及希尔伯特空间等。
1、距离的定义
具体的距离：实际上距离除了我们经常用到的直线距离外，还有向量距离， 函数距离、 曲面距离、折线距离等等，这些具体的距离与距离之间的关系类似于苹果、香蕉等与水果的关系，前面是具体的事物，后面是抽象的概念。
2、线性空间、向量空间
定义了距离后，我们再加上线性结构，如向量的加法、数乘，使其满足加法的交换律、结合律、零元、负元；数乘的交换律、单位一；数乘与加法的结合律（两个）共八点要求，从而形成一个线性空间，这个线性空间就是向量空间。
3、范数
将范数与距离比较，可知，范数比距离多了一个条件2，数乘的运算，表明其是一个强化了的距离概念。范数与距离的关系可以类似理解为与红富士苹果与苹果的关系。
4、内积空间、欧氏空间
5、希尔伯特空间
6、巴拿赫空间
以上均是在距离的概念上进行添加约束形成的，递增关系如下：
距离⟶范数⟶内积 向量空间+范数⟶ 赋范空间+线性结构⟶线性赋范空间+内积运算⟶内积空间+完备性⟶希尔伯特空间 内积空间+有限维⟶欧几里德空间 赋范空间+完备性⟶巴拿赫空间顺便提以下，对距离进行弱化，保留距离的极限和连续概念，就形成拓扑的概念。
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