最近把大学期间没弄清楚的二进制补码理清了，谢谢网络，谢谢阮大牛…
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问一个基本的问题。
负数在计算机中如何表示？
举例来说，+8在计算机中表示为二进制的1000，那么-8怎么表示呢？
很容易想到，可以将一个二进制位（bit）专门规定为符号位，它等于0时就表示正数，等于1时就表示负数。
比如，在8位机中，规定每个字节的最高位为符号位。那么，+8就是00001000，而-8则是。
但是，随便找一本《计算机原理》，都会告诉你，实际上，计算机内部采用二进制补码（简称补码也行）表示负数。
什么是二进制补码？
它是一种数值的转换方法，要分二步完成：
第一步，每一个二进制位都取相反值，0变成1，1变成0。比如，00001000的相反值就是。
第二步，将上一步得到的值加1。就变成。
所以，00001000的2的补码就是。也就是说，-8在计算机（8位机）中就是用表示。
不知道你怎么看，反正我觉得很奇怪，为什么要采用这么麻烦的方式表示负数，更直觉的方式难道不好吗？
昨天，我在一本书里又看到了这个问题，然后就花了一点时间到网上找资料，现在总算彻底搞明白了。
二进制补码的好处
首先，要明确一点。计算机内部用什么方式表示负数，其实是无所谓的。只要能够保持一一对应的关系，就可以
用任意方式表示负数。所以，既然可以任意选择，那么理应选择一种最方便的方式。
二进制补码就是最方便的方式。它的便利体现在，所有的加法运算可以使用同一种电路完成。
还是以-8作为例子。
假定有两种表示方法。一种是直觉表示法，即；另一种是二进制补码表示法，即。请问哪一种表示法在加法运算中
更方便？
随便写一个计算式，16 + (-8) = ?
16的二进制表示是 00010000，所以用直觉表示法，加法就要写成：
０００１００００
＋１０００１０００
－－－－－－－－－
１００１１０００
可以看到，如果按照正常的加法规则，就会得到的结果，转成十进制就是-24。显然，这是错误的答案。也就是说，在这
种情况下，正常的加法规则不适用于正数与负数的加法，因此必须制定两套运算规则，一套用于正数加正数，还有一套用于正数加
负数。从电路上说，就是必须为加法运算做两种电路。
现在，再来看二进制补码表示法。
０００１００００
＋１１１１１０００
－－－－－－－－－
１００００１０００
可以看到，按照正常的加法规则，得到的结果是。注意，这是一个9位的二进制数。我们已经假定这是一台8位机，
因此最高的第9位是一个溢出位，会被自动舍去。所以，结果就变成了00001000，转成十进制正好是8，也就是16 + (-8) 的正确答案。
这说明了，二进制补码表示法可以将加法运算规则，扩展到整个整数集，从而用一套电路就可以实现全部整数的加法。
二进制补码的本质
在回答二进制补码为什么能正确实现加法运算之前，我们先看看它的本质，也就是那两个步骤的转换方法是怎么来的。
要将正数转成对应的负数，其实只要用0减去这个数就可以了。比如，-8其实就是0-8。
已知8的二进制是00001000，-8就可以用下面的式子求出：
００００００００
－００００１０００
－－－－－－－－－
因为00000000（被减数）小于0000100（减数），所以不够减。请回忆一下小学算术，如果被减数的某一位小于减数，我们怎么办？
很简单，问上一位借1就可以了。
所以，0000000也问上一位借了1，也就是说，被减数其实是，算式也就改写成：
１００００００００
－００００１０００
－－－－－－－－－
１１１１１０００
进一步观察，可以发现 = + 1，所以上面的式子可以拆成两个：
１１１１１１１１
－００００１０００
－－－－－－－－－
１１１１０１１１
＋０００００００１
－－－－－－－－－
１１１１１０００
二进制补码的两个转换步骤就是这么来的。
为什么正数加法适用于二进制补码？
实际上，我们要证明的是，X-Y或X+(-Y)可以用X加上Y的二进制补码完成。
Y的二进制补码等于(-Y)+1。所以，X加上Y的二进制补码，就等于：
X + (-Y) + 1
我们假定这个算式的结果等于Z，即 Z = X + (-Y) + 1
接下来，分成两种情况讨论。
第一种情况，如果X小于Y，那么Z是一个负数。这时，我们就对Z采用二进制补码的逆运算，求出它对应的正数绝对值，再在前面加上负号就行了。
所以，Z = -[-(Z-1)] = -[-(X + (-Y) + 1-1)] = X – Y
第二种情况，如果X大于Y，这意味着Z肯定大于，但是我们规定了这是8位机，最高的第9位是溢出位，必须被舍去，这相当于减去
。所以，Z = Z – = X + (-Y) + 1 – = X – Y
这就证明了，在正常的加法规则下，可以利用二进制补码得到正数与负数相加的正确结果。换言之，计算机只要部署加法电路和补码电
路，就可以完成所有整数的加法。
还有一种证明方法：
Z = X + (-Y) + 1式子可以写为Z = X – Y +，这在硬件上可以理解为两部分电路来实现，第一部分是前面的X –
Y（这里姑且不管计算的结果是正还是负），第二部分是X – Y计算的结果再和相加，最终得到计算的结果Z,
而在8位的计算机上是不能出现的，其实这时就相当于00000000（舍去了最高位），然后我们再看一些计算的过程：
Z = X + （ – Y) + 1
= X – Y +
= X – Y + 00000000
= X – Y
证毕。
这样我们就证明了X-Y或X+(-Y)可以用X加上Y的二进制补码完成，而不必分两种情况来证明。
顺便扯点别的，以下是关于为什么一个字节的范围是-128~127的个人看法，如不正确请指正：
假如是8位有符号的byte类型的数值，那么理应不存在-128，但是恰好-128的补码是-0，
并且计算机中负数有对应的补码就可以进行运算，表示0的有+0就够了，
所以-0被拿来表示-128的补码，因此，负数有-128，而正数只有127。
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