线段树+扫描线（有关扫描线的理解）

扫描线：

下面是来自soar转载的一篇博客。

这篇博客解决了我对算区间长度时的不理解。实际上这个线段树的叶子节点保存的是这个点x坐标到下一个x坐标（排序后的）的区间长度。

题意:

二维平面有n个平行于坐标轴的矩形,现在要求出这些矩形的总面积. 重叠部分只能算一次.

分析:

线段树的典型扫描线用法.

       首先假设有下图两个矩阵,我们如果用扫描线的方法如何计算它们的总面积呢?

首先我们将矩形的上下边分为上位边(即y坐标大的那条平行于x轴的边),和下位边(y坐标小的平行于x轴的边).然后我们把所有矩形的上下位边按照他们y坐标从小到大排序,可以得到4条扫描线:

又因为上面2个矩形有4个不同的浮点数x坐标,所以我们需要把x坐标离散化,这样才能用线段树来维护信息.所以我们这样离散化:

由上图可知,4个不同的x坐标把x轴分成了3段有效的区间.这里要注意我们线段树中每个叶节点(控制区间[L,L])不是指X[L]坐标,而是指区间[X[L],X[L+1]].线段树中其他节点控制的区间[L,R],也是指的x坐标轴的第L个区间到第R个区间的范围,也就是X[L]到X[R+1]坐标的范围.

然后我们Y坐标从小到大的顺序读入每条扫描线,并维护当前我们所读入的所有扫描线能有效覆盖X轴的最大长度sum[1].这里特别要注意如果我们读入的扫描线是矩形的下位边,那么我们就使得该范围的标记cnt位+1,如果是上位边,那么该范围的cnt就-1.所以如果cnt=0时,表示该节点控制的范围没有被覆盖,只要cnt!=0 就表示该节点控制的几块区间仍然被覆盖.

下面依次读入每条矩阵边,来一一分析,首先是读入第一条矩阵边:

我们读入了矩形1的下位边,那么该区域的cnt就+1=1了,所以该区域[10,20]就被覆盖了,然后可以推出整个区域被覆盖的长度是10.再根据第二条扫描线离第一条扫描线的高度差为5.所以不管你第二条扫描线是哪个矩形的什么边,或者能覆盖到X轴的什么范围,我上图中蓝色的矩形面积肯定是要算到总面积里面去的.即总面积ret+=sum[1]*(扫描线2的高度-扫描线1的高度). (想想看是不是这样).

下面读第二条扫描线:

由于第二条扫描线也是下位边,所以[15,20]和[20,25]的cnt+1.使得我们覆盖的范围变成了[10,25]了,并且第3条扫描线在20高度,所以这次我们必然增加的面积是上面深蓝色的长条=sum[1]*(扫描线3的高度-扫描线2的高度).

下面我们要读第三条扫描线了:

由于第三条扫描线是区间[10,20]的上位边,所以对应区间的cnt要-1,所以使得区间[10,15]的cnt=0了,而[15,20]区间的cnt-1之后变成了1.[20,25]的cnt仍然为1,不变.所以当前覆盖的有效x轴长度为10,即区间[15,25].所以增加的面积是图中褐色的部分.

到此,矩形的面积和就算出来了.由于对于任一矩形都是先读下位边(cnt+1),再读上位边(cnt-1)的,所以在更新线段树的过程中,任意节点的cnt都是>=0的.

下面说代码实现部分:

首先建立一个node结构体用来保存每条扫描线,node中有信息:

l: 表示扫描线的左端x坐标

r:表示扫描线的右端x坐标

h: 表示扫描线的高度

d: 为1或-1,标记扫描线是矩形的上位还是下位边.

我们首先读入所有矩形的信息,每读入一个矩形信息我们就更新两条扫描线,并且把矩形的两个端点x坐标放入X[MAXN]数组中,

然后我们对node和X都排序,node按h值从小到大排序.

X按从小到大排序.

然后我们在X的本地数组内,对X去重,并且用k表示一共有多少个X.

当我们需要找到第i个区域的两端点坐标时,只需要X[i]和X]i+1].

线段树维护cnt(根本信息)和sum两个信息,其中sum为double,cnt为int型.

cnt: >=0时表示本节点控制的区域内下位边个数-上位边个数的结果.如果==-1时,表示本节点左右子树的上下位边数不一致.

sum: 本节点控制的区域内cnt值不为0的区域总长度.

线段树操作:

PushDown(i,l,r):如果cnt!=-1,那么下放cnt信息,并更新子节点的sum信息.

PushUp(i,l,r): 根据子节点的cnt值和sum值更新父节点的cnt和sum值.

update(ql,qr,v,i,l,r): 使得[ql,qr]与[l,r]区间的公共部分cnt值+v.

如果ql<=l && r<=qr 且 cnt[i]!=-1的话,直接更新并return

否则先PushDown

在一次递归更新左右儿子

最后PushUp.

#include 
  
    #include 
   
     #include 
    
      #include 
     
       #include 
      
        #include 
       
         #include 
        
          #include 
          
         
        
       
      
     
    
  

无注释精简版：

#include 
  
    using namespace std; #define lson i<<1,l,m #define rson i<<1|1,m+1,r const int maxn=222; double x[maxn]; struct node { double l,r,h;//左右坐标，高度 int d;//标记上位边还是下位边 node() {} node(double l,double r,double h,int d):l(l),r(r),h(h),d(d) {} bool operator < (const node &a)const { return h 
   
     =r) { cnt[i]+=v; pushup(i,l,r); return ; } int m=(l+r)>>1; if(ql<=m)update(ql,qr,v,lson); if(qr>m)update(ql,qr,v,rson); pushup(i,l,r); } int main() { int q; int kase=0; while(cin>>q&&q) { memset(cnt,0,sizeof(cnt));//相当于build memset(sum,0,sizeof(sum));//相当于build int n=0,m=0; for(int i=1; i<=q; i++) { double x1,y1,x2,y2; scanf("%lf%lf%lf%lf",&x1,&y1,&x2,&y2); x[++n]=x1; x[++n]=x2; line[++m]=node(x1,x2,y1,1); line[++m]=node(x1,x2,y2,-1); } sort(x+1,x+1+n); sort(line+1,line+1+m); int k=1; /* for(int i=2;i<=n;i++)//去重 { if(x[i]!=x[i-1])x[++k]=x[i]; }*/ k=unique(x+1,x+n+1)-x-1;//直接用STL中的unique函数。 double ans=0.0; for(int i=1; i