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1. ∑ \sum ∑的定义
在数学中经常遇到多项式求和的问题, 为了表述的方便, 引入了求和符号来简化表述的方法, 并且这样的的表述方法非常普遍, 因此了解求和符号 ∑ \sum ∑及其运算性质就非常重要.
看下面的和式:
a 1 + a 2 + . . . + a n a_1+a_2+…+a_n a1+a2+...+an 表示n个数的和, 为了简化表述, 在1820年Joseph Fourier引入了定界的 ∑ \sum ∑表示法, 并且得到了应用普及. 上述和式表达如下:
a 1 + a 2 + . . . + a n = ∑ k = 1 n a k a_1 + a_2 + … + a_n = \sum_{k=1}^n a_k a1+a2+...+an=k=1∑nak
在 ∑ k = 1 n a k \sum_{k=1}^na_k ∑k=1nak中, k k k称为指标变量(指标变量用什么字母无关紧要, 重要的是其取值的范围), 其值从1到n; a k a_k ak为 k k k的函数.
注意:
- 指标变量不是必须从1开始的, 它可以从小于等于n的任何一个整数m开始, 比如:
∑ k = m n a i = a m + a m − 1 + . . . + a n \sum_{k=m}^n a_i = a_m + a_{m-1} + … + a_n ∑k=mnai=am+am−1+...+an - 特别地, ∑ k = n n = a n \sum_{k=n}^n = a_n ∑k=nn=an
了解和掌握求和符号的一般规律, 不仅可以使复杂问题的表述简单, 而且也有助于对相关算法的理解.
2. 求和符号运算的性质
定理1:
∑ k = 1 n a k = ∑ k = 1 m a k + ∑ k = m + 1 n a k . 其 中 1 < m < n \sum_{k=1}^na_k = \sum_{k=1}^ma_k + \sum_{k=m+1}^na_k . 其中1\lt m \lt n k=1∑nak=k=1∑mak+k=m+1∑nak.其中1<m<n
很明显, 这是加法结合律的必然结果. 相当于把n个数分成了两部分, 分别求和后再求和.
定理2:
∑ k = 1 n ( a k + b k ) = ∑ k = 1 n a k + ∑ k = 1 n b k \sum_{k=1}^n(a_k + b_k)=\sum_{k=1}^na_k + \sum_{k=1}^nb_k k=1∑n(ak+bk)=k=1∑nak+k=1∑nbk
证明: 由加法的交换律和结合律可知:
∑ k = 1 n ( a k + b k ) = ( a 1 + b 1 ) + ( a 2 + b 2 ) + . . . + ( a n + b n ) \sum_{k=1}^n(a_k+b_k)=(a_1+b_1) + (a_2+b_2) + … + (a_n+b_n) k=1∑n(ak+bk)=(a1+b1)+(a2+b2)+...+(an+bn)
= ( a 1 + a 2 + . . . + a n ) + ( b 1 + b 2 + . . . + b n ) \quad \quad \quad\quad\quad\quad\quad =(a_1+a_2+…+a_n) + (b_1 + b_2+…+b_n) =(a1+a2+...+an)+(b1+b2+...+bn)
= ∑ k = 1 n a k + ∑ k = 1 n b k = \sum_{k=1}^na_k + \sum_{k=1}^nb_k \quad \quad \quad\quad =k=1∑nak+k=1∑nbk
定理2可以进一步扩展到多项. 所以定理2表明, 我们可以把一个分解成多个, 当然也可以把多个求和符号合并为一个.
定理3:
∑ k = 1 n r a k = r ∑ k = 1 n a k , 其 中 的 r 为 任 意 的 常 数 . \sum_{k=1}^nra_k=r\sum_{k=1}^na_k, 其中的r为任意的常数. k=1∑nrak=rk=1∑nak,其中的r为任意的常数.
定理3说明求和符号里的常数可以提取到求和符号外面. 这一点是乘法分配律的结果.
3. 应用
例1 : 已知 ∑ i = 1 n i = n ( n + 1 ) 2 \sum_{i=1}^ni = \frac{n(n+1)}{2} ∑i=1ni=2n(n+1), 试求 ∑ i = 1 n ( 2 i − 1 ) \sum_{i=1}^n(2i-1) ∑i=1n(2i−1)
解: ∑ i = 1 n ( 2 i − 1 ) = 2 ∑ n = 1 n i − ∑ i = 1 n 1 \sum_{i=1}^n(2i-1)=2\sum_{n=1}^n i – \sum_{i=1}^n 1 ∑i=1n(2i−1)=2∑n=1ni−∑i=1n1
= n ( n + 1 ) − n \quad \quad\quad\quad\quad \quad\quad=n(n+1)-n =n(n+1)−n
= n 2 \quad \quad\quad\quad\quad \quad\quad=n^2 =n2
例2: 已知 ∑ i = 1 n i = n ( n + 1 ) 2 \sum_{i=1}^ni=\frac{n(n+1)}{2} ∑i=1ni=2n(n+1), 试求 ∑ i = 1 n i 2 \sum_{i=1}^n i^2 ∑i=1ni2.
解:由二项式定理得
( i + 1 ) 3 = i 3 + 3 i 2 + 3 i + 1 (i+1)^3 = i^3 + 3i^2 + 3i + 1 (i+1)3=i3+3i2+3i+1, 故有:
∑ i = 1 n ( i + 1 ) 3 = ∑ i = 1 n i 3 + 3 ∑ i = 1 n i 2 + 3 ∑ i = 1 n i + ∑ i = 1 n 1 ( 1 ) \sum_{i=1}^n(i+1)^3=\sum_{i=1}^ni^3 + 3\sum_{i=1}^ni^2 +3\sum_{i=1}^ni + \sum_{i=1}^n 1 \quad (1) ∑i=1n(i+1)3=∑i=1ni3+3∑i=1ni2+3∑i=1ni+∑i=1n1(1)
同时,
∑ i = 1 n ( i + 1 ) 3 = 2 3 + 3 3 + . . . + n 3 + ( n + 1 ) 3 \sum_{i=1}^n(i+1)^3 = 2^3+3^3+… +n^3+(n+1)^3 ∑i=1n(i+1)3=23+33+...+n3+(n+1)3
∑ i = 1 n i 3 = 1 3 + 2 3 + 3 3 + . . . + n 3 \sum_{i=1}^ni^3 = 1^3+2^3+3^3+… +n^3 ∑i=1ni3=13+23+33+...+n3
所以得:
∑ i = 1 n ( i + 1 ) 3 − ∑ i = 1 n i 3 = ( n + 1 ) 3 − 1 ( 2 ) \sum_{i=1}^n(i+1)^3-\sum_{i=1}^ni^3 =(n+1)^3-1\quad (2) i=1∑n(i+1)3−i=1∑ni3=(n+1)3−1(2)
将(2)式带入(1)得:
3 ∑ i = 1 n i 2 + 3 ∑ i = 1 n i + ∑ i = 1 n 1 = ( n + 1 ) 3 − 1 3\sum_{i=1}^ni^2 + 3\sum_{i=1}^ni +\sum_{i=1}^n1=(n+1)^3 -1 3i=1∑ni2+3i=1∑ni+i=1∑n1=(n+1)3−1
再将已知条件带入, 最后得:
∑ i = 1 n i 2 = 1 6 n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) \sum_{i=1}^n i^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) i=1∑ni2=61n(n+1)(2n+1)
一般说来, ∑ i = 1 n a i b i ≠ ∑ i = 1 n a i . ∑ i = 1 n b i \sum_{i=1}^na_ib_i \ne \sum_{i=1}^na_i.\sum_{i=1}^nb_i ∑i=1naibi=∑i=1nai.∑i=1nbi. 因为 ∑ i = 1 n a i b i \sum_{i=1}^na_ib_i ∑i=1naibi描述的是n项之和; 而 ∑ i = 1 n a i . ∑ i = 1 n b i \sum_{i=1}^na_i . \sum_{i=1}^nbi ∑i=1nai.∑i=1nbi描述的是 n 2 n^2 n2项之和, 而且这些项包含了 ∑ i = 1 n a i b i \sum_{i=1}^na_ib_i ∑i=1naibi的所有项.
4. 双重求和
对于一个 m × n m\times n m×n矩阵来说, 一般表示如下:
A = ( a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a m 1 a m 2 ⋯ a m n ) A= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\\ \end{pmatrix} A=⎝⎜⎜⎜⎛a11a21⋮am1a12a22⋮am2⋯⋯⋱⋯a1na2n⋮amn⎠⎟⎟⎟⎞
那么如果要求矩阵A的所有元素之和, 可以简略记为 ∑ i = 1 m ∑ j = 1 n a i j \sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^na_{ij} ∑i=1m∑j=1naij, 注意符号 ∑ i = 1 m ∑ j = 1 n \sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n ∑i=1m∑j=1n 是一个整体, 称为双重求和符号.
矩阵A所有元素之和有两种方法: 一种是先求各行的元素之和, 再将各行的和累加; 另一种方法是先求各列的和, 再将各列的和累加.
(1) 先按行求和, 有
∑ j = 1 n a 1 j + ∑ j = 1 n a 2 j + . . . + ∑ j = 1 n a m j = ∑ i = 1 m ( ∑ j = 1 n a i j ) \sum_{j=1}^na_{1j}+\sum_{j=1}^na_{2j}+…+\sum_{j=1}^na_{mj}=\sum_{i=1}^m(\sum_{j=1}^na_{ij}) j=1∑na1j+j=1∑na2j+...+j=1∑namj=i=1∑m(j=1∑naij)
(2) 先按列求和, 有
∑ i = 1 m a i 1 + ∑ i = 1 m a i 2 + . . . + ∑ i = 1 m a i n = ∑ j = 1 n ( ∑ i = 1 m a i j ) \sum_{i=1}^ma_{i1}+\sum_{i=1}^ma_{i2}+…+\sum_{i=1}^ma_{in}=\sum_{j=1}^n(\sum_{i=1}^ma_{ij}) i=1∑mai1+i=1∑mai2+...+i=1∑main=j=1∑n(i=1∑maij)
由于 ∑ i = 1 m ∑ j = 1 n a i j , ∑ i = 1 m ( ∑ j = 1 n a i j ) \sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^na_{ij}, \sum_{i=1}^m(\sum_{j=1}^na_{ij}) ∑i=1m∑j=1naij,∑i=1m(∑j=1naij)和 ∑ j = 1 n ( ∑ i = 1 m a i j ) \sum_{j=1}^n(\sum_{i=1}^ma_{ij}) ∑j=1n(∑i=1maij)都表示的是同一个矩阵中所有元素之和, 所以三者是相等的.
定理4:
∑ i = 1 m ∑ j = 1 n a i j = ∑ i = 1 m ( ∑ j = 1 n a i j ) = ∑ j = 1 n ( ∑ i = 1 m a i j ) \sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^na_{ij} =\sum_{i=1}^m(\sum_{j=1}^na_{ij})=\sum_{j=1}^n(\sum_{i=1}^ma_{ij}) i=1∑mj=1∑naij=i=1∑m(j=1∑naij)=j=1∑n(i=1∑maij)
这表明，双重求和可以化成对i和j的累次求和来进行，并且与求和的顺序无关。即，我们即可以先对i求和也可以先对j求和。
例3: 设 a i j = i + j a_{ij}=i+j aij=i+j, 试求 ∑ j = 1 m ∑ i = 1 n a i j \sum_{j=1}^m\sum_{i=1}^na_{ij} ∑j=1m∑i=1naij
解:
∑ j = 1 m ∑ i = 1 n a i j = ∑ j = 1 m ∑ i = 1 n ( i + j ) \sum_{j=1}^m\sum_{i=1}^na_{ij}=\sum_{j=1}^m\sum_{i=1}^n(i+j) j=1∑mi=1∑naij=j=1∑mi=1∑n(i+j)
= ∑ j = 1 m ( ∑ i = 1 n ( i + j ) ) \quad\quad\quad\quad\quad=\sum_{j=1}^m(\sum_{i=1}^n(i+j)) =j=1∑m(i=1∑n(i+j))
= ∑ j = 1 m ( ∑ i = 1 n i + n j ) \quad\quad\quad\quad\quad=\sum_{j=1}^m(\sum_{i=1}^ni+nj) =j=1∑m(i=1∑ni+nj)
= ∑ j = 1 m ( ∑ i = 1 n i ) + n ∑ j = 1 m j \quad\quad\quad\quad\quad=\sum_{j=1}^m(\sum_{i=1}^ni)+n\sum_{j=1}^mj =j=1∑m(i=1∑ni)+nj=1∑mj
= m ∑ i = 1 n i + n ∑ j = 1 m j \quad\quad\quad\quad\quad=m\sum_{i=1}^ni+n\sum_{j=1}^mj =mi=1∑ni+nj=1∑mj
= m n ( n + 1 ) 2 + n m ( m + 1 ) 2 \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad=m\frac{n(n+1)}{2} + n\frac{m(m+1)}{2} =m2n(n+1)+n2m(m+1)
= 1 2 m n ( m + n + 2 ) \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad=\frac{1}{2}mn(m+n+2) =21mn(m+n+2)
例4: 求 ∑ j = 1 m ∑ i = 1 n i j \sum_{j=1}^m\sum_{i=1}^n ij ∑j=1m∑i=1nij
解: ∑ j = 1 m ∑ i = 1 n i j = ∑ j = 1 m ( ∑ i = 1 n i j ) \sum_{j=1}^m\sum_{i=1}^n ij=\sum_{j=1}^m(\sum_{i=1}^n ij)\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad j=1∑mi=1∑nij=j=1∑m(i=1∑nij)
= ∑ j = 1 m ( j ∑ i = 1 n i ) =\sum_{j=1}^m(j\sum_{i=1}^n i)\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad =j=1∑m(ji=1∑ni)
= ∑ j = 1 m ( j n ( n + 1 ) 2 ) =\sum_{j=1}^m(j\frac{n(n+1)}{2})\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad =j=1∑m(j2n(n+1))
= n ( n + 1 ) 2 ∑ j = 1 m j =\frac{n(n+1)}{2}\sum_{j=1}^mj\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad =2n(n+1)j=1∑mj
= n ( n + 1 ) 2 m ( m + 1 ) 2 =\frac{n(n+1)}{2}\frac{m(m+1)}{2}\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad =2n(n+1)2m(m+1)
= 1 4 m n ( m + 1 ) ( n + 1 ) =\frac{1}{4}mn(m+1)(n+1)\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad =41mn(m+1)(n+1)
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