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n皇后问题-回溯法求解

1.算法描述

在n×n格的国际象棋上摆放n个皇后，使其不能互相攻击，即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上，问有多少种摆法。

n皇后是由八皇后问题演变而来的。该问题是国际西洋棋棋手马克斯·贝瑟尔于1848年提出：在8×8格的国际象棋上摆放八个皇后，使其不能互相攻击，即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上，问有多少种摆法。 高斯认为有76种方案。1854年在柏林的象棋杂志上不同的作者发表了40种不同的解，后来有人用图论的方法解出92种结果。

2.算法分析

随着计算机的普及和发展，以前人们无法解决的问题，计算机可以简单计算出来。而且思路十分清晰，那就是暴力求解，遍历所有情况，然后计算出解的个数。

2.1 回溯法

按选优条件向前搜索，以达到目标。但当探索到某一步时，发现原先选择并不优或达不到目标，就退回一步重新选择，这种走不通就退回再走的技术为回溯法

2.2 回溯法思路

用数组模拟棋盘，从第一行开始，依次选择位置， 如果当前位置满足条件，则向下选位置， 如果不满足条件，那么当前位置后移一位。

最后一个不满足，回溯到上一行， 选下个位置，继续试探。

其实并不需要一个n*n的数组，我们只需要一个n长度的数组来存位置。

表示方式： arr[i] = k; 表示： 第i行的第k个位置放一个皇后。这样一个arr[n]的数组就可以表示一个可行解， 由于回溯，我们就可以求所有解。

2.3 n皇后回溯求解

因为八皇后不能在同行，同列， 同斜线。

1. 每一行放一个皇后，就解决了不在同行的问题。
2. 在第i行的时候，遍历n列，试探位置。和之前所有行放的位置进行比较。
3. 比较列：当前列col 不等于 之前 所有列。 即col != arr[i].
4. 比较斜线， 因为不再同一斜率为1或者-1的斜线。(row – i) / (col – arr[i]) != 1 或 -1
   可以取巧用绝对值函数: abs(row-i) != abs(col-arr[i])

我们可以提取比较方法：

public boolean comp(int row, int col){ 
      //当前行和列
    for (int i = 0; i < row; i++)  //比较之前row -1 列。
    { 
   
      if(col == arr[i] || abs(row-i) != abs(col-arr[i]))  //如果在同一列，同一斜线
          return false;
    }
    return true;
}

比较函数写完后， 就只剩下回溯过程， 我们采用递归的方式回溯，比较好理解。

//当前层 row
for (int i = 0; i < n; i++){ 
   
  if(comp(row, i)){ 
   
    arr[row] = i;
    //同样方式遍历下一层。 row + 1
  }
}

2.4 时间复杂度

最坏的情况： 每一行有n种情况，有n行， 所以时间复杂度为O(n^n)。
但是由于回溯法会提前判断并抛弃一些情况，使得时间复杂度并没有想象中那么高。但是说是O(n!)也不太对，具体怎么算，暂时也不太清楚。（之前想当然了，此处有修正，多谢评论中的提醒。）

2.5 空间复杂度

因为只用了arr[n]的数组，也就是O(n).

3.代码实现

public class NQueen { 
   
    private int n;
    private long count;
    private int[] arr;
// private int nn;

    public NQueen(int n){ 
   
        this.n = n;
  // nn = (1 << n) - 1;
        count = 0;
        arr = new int[n];
    }


    /** * row col i arr[i] * @param row * @param col * @return */
    public boolean Check(int row, int col){ 
   
        for(int i = 0; i < row; i++){ 
   
            if(col == arr[i] || Math.abs(row - i) == Math.abs(col - arr[i])) //在同一列或者在同一斜线。一定不在同一行
                return false;
        }
        return true;
    }

    public void FindNQueen(int k) { 
   
        if (k == n) { 
      //求出一种解， count+1
            count++;
            return;
        }

        for (int i = 0; i < n; i++) { 
   
            if (Check(k, i)) { 
      //检查是否满足条件
                arr[k] = i;      //记录
                FindNQueen(k + 1);   //递归查找
            }
        }

    }

    public static void main(String args[]){ 
   
        NQueen nQueen = new NQueen(13);
        nQueen.FindNQueen(0);
        System.out.println(nQueen.count);
    }

}

4. 拓展，位运算+回溯法实现

虽然计算机算的很快，但是上诉方法实在是太慢了， java就更慢了。如何网上就有大佬给出了位运算求解。精妙的不行。

4.1 算法思路

我们不再用数组来存储位置，而是用一个整数k，k一开始等于0. 不是普通的0.我们也不比较了，直接用两个整数l和r 记录在斜线在当前行不能走的位置。如果是n皇后， 那么用一个整数
nn = 1 << n 表示结束。

举个栗子吧： 8皇后问题。

初始化 那么我们就变成二进制的角度来看这些初始化的数据吧。

k = 00000000, l = 00000000, r = 00000000; nn = 11111111; (<- 8个0 8个1)

1. k: 每个位置i的0表示没有皇后，1表示在第i个位置放了一个皇后。
2. l: 0表示之前所有的列中放的皇后斜率为-1的线上没有涉及这个位置， 1 表示涉及到了，不能放皇后
3. r: 同l， 所有斜率为1的线涉及的位置。

l和r的实现：

比如k = 00110001. 我要在第4个为位置放一个皇后， 假设l和r都没有涉及这个位置。

那么这个位置x= 00001000.

1. k = (k & x) = 00111001.
2. l = (l & x) << 1.
3. r = (r & x) >> 1.

假设l = 00110001， r = 00100010.下一行，l表示斜率为-1不能放的位置， 那么第i+1行 l 中所有为1的数字都需要向左移动一位，r需要向右移动一位。 l & x 也就是加上当前选中的位置一起移动。

4.2代码实现

   //k 当前已走了多少个位置。 l 左斜线不能走的位置， r 右斜线不能走的位置。
   public void FindNQueen(int k, int l, int r){ 
   
       if(k == nn){ 
   
           count++;
           return;
       }

       int z = nn & (~(k | l | r));  //能走的位置， 和nn取并可以去掉前面多余的1
       while(z != 0){ 
   
           int index = z & (~z+1);   //最右边的一个1， 即要放皇后的位置。
           z -= index;   //去掉这个位置。

           FindNQueen(k | index, (l|index)<<1, (r|index)>>1);   //查找下一个。
       }


   }

4.3 算法分析

1. 时间复杂度，应该同上分析一致，去掉但是少了检查的for循环，应该是O(n!)
2. 空间复杂度，只用了几个变量， O(1).

5. 展望

其实还有其他方式和更快的方式求解，比如位运算+多线程， 还有号称时间复杂度为O(1)，利用数学公式的构造法求解。扶我起来，我要继续学。