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矩阵范数的等价

设 $\mathbb F = \mathbb R$ 或 $\mathbb C,$ 对于任意两个$\mathbb F^{n \times n}$ 上的范数 $\Vert \cdot\Vert_{\alpha}$ 与 $\Vert \cdot\Vert_{\beta},$ 若存在常数 $C_1 \gt 0, C_2 \gt 0,$ 使得 $\forall \mathbf {X} \in \mathbb F^{n \times n},$

$$\Vert \mathbf {X} \Vert _{\alpha} \le C_1 \Vert \mathbf {X} \Vert _{\beta}, \Vert \mathbf {X} \Vert _{\beta} \le C_2 \Vert \mathbf {X} \Vert _{\alpha}$$

则称

∥⋅∥α ‖ ⋅ ‖ α
$\Vert \cdot\Vert_{\alpha}$ 与

∥⋅∥β ‖ ⋅ ‖ β
$\Vert \cdot\Vert_{\beta}$ 是等价的。

性质

$\mathbb F^{n \times n}$ 上的任意两种矩阵范数都是等价的。

证明

令 $E _{ij} \in \mathbb F^{n \times n}$ 表示只有在第 $i$ 行第 $j$ 列的元素为 $1,$ 其他元素都为 $0$ 的矩阵。
则 $\forall \mathbf {X} \in \mathbb F^{n \times n}, \mathbf {X} = \begin{pmatrix} x_{ij} \end{pmatrix} _{n \times n}= \sum \limits _{i = 1} ^{n} \sum \limits _{j = 1} ^{n} x_{ij} E _{ij}$
1. 首先证明对于任意一个$\mathbb F^{n \times n}$ 上的范数 $\Vert \cdot\Vert,$
函数 $\varphi : \mathbb F^{n \times n} \mapsto R, \varphi (\mathbf {X}) = \left \Vert \mathbf {X} \right \Vert$ 在 $L_2$ 范数下是连续的。
对于任意一个$\mathbb F^{n \times n}$ 上的范数 $\Vert \cdot\Vert, \forall \mathbf {X}, \mathbf {Y} \in \mathbb F^{n \times n},$
$\vert \varphi (\mathbf {X}) - \varphi (\mathbf {Y}) \vert = \vert \Vert \mathbf {X} \Vert - \Vert \mathbf {Y} \Vert \vert \le \Vert \mathbf {X} - \mathbf {Y} \Vert$
$= \Vert \sum \limits _{i = 1} ^{n} \sum \limits _{j = 1} ^{n} x_{ij} E _{ij} - \sum \limits _{i = 1} ^{n} \sum \limits _{j = 1} ^{n} y_{ij} E _{ij} \Vert$
$= \Vert \sum \limits _{i = 1} ^{n} \sum \limits _{j = 1} ^{n} (x_{ij} - y_{ij}) E _{ij} \Vert$
$\le \sum \limits _{i = 1} ^{n} \sum \limits _{j = 1} ^{n} \Vert (x_{ij} - y_{ij}) E _{ij} \Vert$
$= \sum \limits _{i = 1} ^{n} \sum \limits _{j = 1} ^{n} \vert x_{ij} - y_{ij} \vert \Vert E _{ij} \Vert$
$\to 0, \mathbf {X} \to \mathbf {Y}$
因此 $\varphi (\mathbf {X})$ 是连续函数。
2. 于是 $\varphi (\mathbf {Y}; \alpha) = \Vert \mathbf {Y} \Vert _{\alpha}$ 在有界闭集 $S = \{ \mathbf {Y} \in \mathbb F ^{n \times n} : \Vert \mathbf {Y} \Vert _{2} = 1 \}$ 上连续，又 $\varphi (\mathbf {Y} ; \alpha)$ 在 $S$ 恒大于零，因此在 $S$ 内必有最大值 $C_{\max} \gt 0,$ 最小值 $C_{\min} \gt 0,$
同理可得 $\varphi (\mathbf {Y}; \beta) = \Vert \mathbf {Y} \Vert _{\beta}$ 在 $S$ 内必有最大值 $D_{\max} \gt 0,$ 最小值 $D_{\min} \gt 0,$
3. $\forall \mathbf {X} \in \mathbb F^{n \times n},$ 若 $\mathbf {X} = \mathbf {0},$ 则命题显然成立。
否则 $\mathbf {X} \neq \mathbf {0},$ 令 $\mathbf {Y} = \dfrac {1}{\Vert \mathbf {X} \Vert_{2} }\mathbf {X} ,$
则 $\Vert \mathbf {Y} \Vert _{2} = 1,$ 因此 $Y \in S,$
于是 $\dfrac {\Vert \mathbf {X} \Vert _{\beta}}{\Vert \mathbf {X} \Vert _{\alpha}} = \dfrac {\Vert \mathbf {Y} \Vert _{\beta}}{\Vert \mathbf {Y} \Vert _{\alpha}} \dfrac {\Vert \mathbf {X} \Vert_{2} }{\Vert \mathbf {X} \Vert_{2} }$
$= \dfrac {\varphi (\mathbf {Y}; \alpha)} {\varphi (\mathbf {Y}; \beta) } \in \left [\dfrac {D_{\min}} {C_{\max}}, \dfrac {D_{\max}} {C_{\min}} \right]$ 。
令 $C_1 = \dfrac {D_{\min}} {C_{\max}} , C_2 = \dfrac {D_{\max}} {C_{\min}} ,$ 则：
$0 \lt C_1 \le \dfrac {\Vert \mathbf {X} \Vert_{\beta} } {\Vert \mathbf {X} \Vert_{\alpha} } \le C_2$