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主要内容：提供不同算法的原理以及效果直观展示，并希望读者能够在实际问题中更合理的选用梯度下降类算法。
目录：
1.简介梯度下降法
2.随机梯度下降
3.随机梯度下降的问题与挑战
4.随机梯度下降的优化算法（主要内容）
梯度下降算法的困难之处：
1.梯度的计算
在机器学习和统计参数估计问题中目标函数经常是求和函数的形式
J x ( θ ) = ∑ i J x i ( θ ) J_x (\theta)= \sum_{i} J_{x_i}(\theta) Jx(θ)=i∑Jxi(θ)
其中每一个函数都对应一个样本
当样本极大时，梯度的计算就变得非常耗时耗力。
2.学习率的选择
学习率选择过小会导致算法收敛太慢，学习率选择过大容易导致算法不收敛
如何选择学习率需要具体问题具体分析：
- 局部梯度的反方向不一定是函数整体下降的方向
对图像比较崎岖的函数，尤其是隧道型曲面，梯度下降表现不佳对图像比较崎岖的函数，尤其是隧道型曲面，梯度下降表现不佳 - 预定学习率衰减法的问题
学习率衰减法很难根据当前数据进行自适应 - 对不同参数采取不同的学习率的问题
在数据由一定稀疏性时，希望对不同特征采取不同的学习率 - 神经网络训练中梯度下降法容易被困在鞍点附近的问题
比起局部极小值，鞍点更加可怕
为什么不用牛顿法？
牛顿法要求计算目标函数的二阶导数，在高维特征情形下这个矩阵非常巨大，计算和存储都成问题
在使用小批量情形下，牛顿法对于二阶导数的估计噪声太大
在目标函数非凸时，牛顿法更容易受到鞍点甚至最大值点的吸引
随机梯度下降法主要为了解决第一问题：梯度计算
由于随机梯度下降的引入，我们通常将梯度下降法分为三种类型：
1.批量梯度下降法（GD）
原始的梯度下降法
2.随机梯度下降法（SGD）
每次梯度计算只使用一个样本
- 避免在类似样本上计算梯度造成的冗余计算
- 增加了跳出当前的局部最小值的潜力
- 在逐渐缩小学习率的情况下，由于批梯度下降法类似的收敛速度
3.小批量随机梯度下降法（Mini Batch SGD）
每次梯度计算使用一个小批量样本
- 梯度计算比单样本更加稳定
- 可以很好的利用县城的高度优化的矩阵运算工具
动量法（Momentum）（适用于隧道型曲面）
动量法每次更新都吸收一部分上次更新的余势：
V t = γ V t − 1 + δ ∇ θ J ( θ ) V_t=\gamma V_{t-1} +\delta\nabla \theta J(\theta) Vt=γVt−1+δ∇θJ(θ) θ t = θ t − 1 − V t \theta_t= \theta_{t-1} -V_{t} θt=θt−1−Vt
这样主体方向的更新就得到了更大的保留，从而效果被不断放大。
物理上这就像是推一个很重的铁球下山，因为铁球保持了下山主体方向的动量，所以在隧道伤沿两侧震荡侧次数就会越来越少。
Nesterov(动量法的改进算法)
动量法的一个问题在于：从山顶退下的铁球会越滚越快，以至于到了山底停不下来。我们希望算法更加聪明一些，可以在到达底部之前就自己刹车。
利用主题下降方向提供的先见之明，预判自己下一步的位置，并到预判位置计算梯度。
v t = γ v t − 1 + δ ∇ θ J ( θ − v t − 1 ) v_t=\gamma v_{t-1}+\delta {\nabla \theta} J(\theta – v_{t-1}) vt=γvt−1+δ∇θJ(θ−vt−1) θ = θ − v t \theta= \theta -v_{t} θ=θ−vt
Adagrad(自动调整学习率，适用于稀疏数据)
梯度下降法在每一步对每一个参数使用同样的学习率，这种一刀切的做法不能有效地利用每一个数据及自身的特点。
Adagrad是一种自动调整学习率的方法
- 随着模型的训练，学习率自动衰减
- 对于更新频繁的参数，采取较小的学习率
- 对于更新不频繁的参数，采取较大的学习率
为了实现对于更新频繁的参数使用较小的学习率，Adagrad对每个参数历史上的每次更新进行叠加，并以此来做下一次更新的惩罚系数。
梯度： g t , i = ∇ θ J ( θ i ) g_{t,i}=\nabla \theta J(\theta_i) gt,i=∇θJ(θi)
梯度历史矩阵： G t G_t Gt对角矩阵，其中 G t , i i = ∑ k g k , i 2 G_{t,ii}=\sum_{k} g_{k,i}^2 Gt,ii=∑kgk,i2
参数更新： θ t + 1 , i = θ t , i − δ G t , i i + ε g t , i \theta_{t+1,i} =\theta_{t,i} – \dfrac{\delta}{ \sqrt{G_{t,ii}+\varepsilon}}g_{t,i} θt+1,i=θt,i−Gt,ii+εδgt,i
Adadelta（Adagrad的改进算法）
Adagrad的一个问题在于随着训练的进行，学习率快速单调衰减。
Adadelta 则使用梯度平方的移动平均来取代全部历史平方和。
定义移动平方： E [ g 2 ] t = γ E [ g 2 ] t − 1 + ( 1 − γ ) g t 2 E[g^2]_t=\gamma E[g^2]_{t-1}+(1-\gamma)g_t^2 E[g2]t=γE[g2]t−1+(1−γ)gt2
于是就得到参数更新法则：
θ t + 1 , i = θ t , i − δ E [ g 2 ] t , i i + ε g t , i \theta_{t+1,i}=\theta_{t,i}- \dfrac{\delta}{ \sqrt{E[g^2]_{t,ii}+\varepsilon}}g_{t,i} θt+1,i=θt,i−E[g2]t,ii+εδgt,i
由于梯度与参数的单位不匹配。
Adadelta使用参数更新的移动平均来取代学习率 δ \delta δ,于是参数的更新法则：
θ t + 1 , i = θ t , i − E [ Δ θ ] t − 1 E [ g 2 ] t , i i + ε g t , i \theta_{t+1,i}=\theta_{t,i}- \dfrac{\sqrt{E[\Delta\theta]_{t-1}}}{ \sqrt{E[g^2]_{t,ii}+\varepsilon}}g_{t,i} θt+1,i=θt,i−E[g2]t,ii+εE[Δθ]t−1gt,i
Adam(结合了动量法和Adamdelta算法)
如果把Adadelta里面梯度的平方和看成是梯度的二阶矩，那么梯度自身的求和就是一阶矩。Adam算法在Adadelta的二阶矩基础上又引入了1一阶矩。
而一阶矩，其实就类似于动量法里面的动量。
m t = β 1 m t − 1 + ( 1 − β 1 ) g t m_t = \beta_1 m_{t-1}+(1-\beta_1)g_t mt=β1mt−1+(1−β1)gt v t = β 2 v t − 1 + ( 1 − β 2 ) g t 2 v_t = \beta_2 v_{t-1}+(1-\beta_2)g_t^2 vt=β2vt−1+(1−β2)gt2
于是参数更新法则为：
θ t + 1 = θ t − δ v t + ε m t \theta_{t+1}=\theta_t – \dfrac{\delta}{\sqrt{v_t}+\varepsilon}m_t θt+1=θt−vt+εδmt
究竟如何选择算法呢？
动量法和Nesterov的改进方法着重解决目标函数图像崎岖的问题
Adagrad和Adadelta主要解决学习率更新问题
Adam集中了前述两种做法的主要优点
目前为止Adam可能是几种算法中综合表现最好的
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