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收藏几个经典的函数，用来当作数学优化方法求解的例子，再收藏几个有趣的函数图像。
一、平面心形图像
1. 笛卡尔心形函数
第一个当然是大名鼎鼎的笛卡尔心形函数，它的平面直角坐标系方程为：
\begin{equation}(x^2+y^2)^2+4ay(x^2+y^2)-4a^2x^2=0\end{equation}
其中 a 是一个可调参数，下面的图为 a=1 时的图像。
matlab 代码：
ezplot('(x^2+y^2)^2+4*2*x*(x^2+y^2)-4*2^2*y^2=0')
笛卡尔心形图比较像一个心脏的形状。
2 函数1
经过网上搜索，平面坐标系中，下面的函数最像普通的心形图像，而且函数形式简单，不需要分段。
\begin{equation}x^2+(y-(x^2)^{1/3})^2=9 \end{equation}
改变右面的数值可以变化心形图像的大小，MATLAB 代码：
> ezplot('x^2+(y-(x^2)^(1/3))^2=9')
3. 函数2
还有一个函数：
\begin{equation}-x^2y^3+(x^2+y^2-1)^3=0\end{equation}
代码：
ezplot('-x^2*y^3+(x^2+y^2-1)^3=0',[-1.5,1.5])
4. 函数3
\begin{equation}17x^2-16|x|y+17y^2=200\end{equation}
代码：
ezplot('17*x.^2-16*abs(x).*y+17*y.^2=200'
5. 函数4
\begin{align}f(x)&=\sqrt{2\sqrt{x^2}-x^2}\nonumber\\g(x)&=-2.14\sqrt{\sqrt{2}-\sqrt{|x|}}\nonumber\end{align}
代码：
x=linspace(-2,2,1000);
y1=sqrt(2*sqrt(x.^2)-x.^2);
y2=-2.14*sqrt(sqrt(2)-sqrt(abs(x)));
plot(x,y1,'b',x,y2,'b');
axis([-2.5,2.5,-3,1.5]);
6. 函数5
\begin{align}x&=16(sint)^3\nonumber\\y&=13cost-5cos(2t)-2cos(3t)-cos(4t)\nonumber\end{align}
t=linspace(-6,6,1000);
x=16*(sin(t)).^3;
y=13*cos(t)-5*cos(2*t)-2*cos(3*t)-cos(4*t);
plot(x,y);
二 . 立体心形图像
立体心形貌似只能由笛卡尔方程得到：
\begin{equation}(x^2+ 9y^2/4 + z^2- 1)^3 – x^2z^3 – 9y^2z^3/80=0\end{equation}
画图时用 isosurface 和 patch 函数：
1. 图形1
f=@(x,y,z)(x.^2+ (9./4).*y.^2 + z.^2 - 1).^3 - x.^2.*z.^3 - (9./80).*y.^2.*z.^3;
[x,y,z]=meshgrid(linspace(-3,3));
val=f(x,y,z);
[p,v]=isosurface(x,y,z,val,0);
patch('faces',p,'vertices',v,'facevertexcdata',jet(size(v,1)),'facecolor','w','edgecolor','flat');
view(3);
grid on;
axis equal;
2. 图形2
f=@(x,y,z)(x.^2+ (9./4).*y.^2 + z.^2 - 1).^3 - x.^2.*z.^3 - (9./80).*y.^2.*z.^3;
[x,y,z]=meshgrid(linspace(-1.5,1.5));
val=f(x,y,z);
isosurface(x,y,z,val,0);
axis equal;
view(3);
colormap([1 0.2 0.2])
3. 轴对称振荡器函数
\begin{equation}f(x)=xsin(x)\end{equation}
ezplot('x*sin(x)')
4. 刚好有一个极大点，一个极小点的二元函数
\begin{equation}f(x,y)=xe^{-x^{2}-y^{2}}\end{equation}
ezmesh(@(x,y) x.*exp(-x.^2-y.^2))
5. peaks 函数（二元高斯分布的概率密度函数）（三个极大点，三个极小点）
\begin{equation}f(x,y)=3(1-x)^{2}e^{-x^2-(y+1)^2}-10(\frac{1}{5}x-x^3-y^5)e^{-x^2-y^2}-\frac{1}{3}e^{-(x+1)^2-y^2}\end{equation}
f=@(x,y)3*(1-x).^2.*exp(-(x.^2) - (y+1).^2)- 10*(x/5 - x.^3 - y.^5).*exp(-x.^2-y.^2)- 1/3*exp(-(x+1).^2 - y.^2);
ezmesh(f);
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