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狄利克雷函数
狄利克雷函数
19世纪的德国数学家狄利克雷提出一个函数：
这属于一个人造函数，而这个函数本身却给我们带来很多深刻的思考。
首先最好来感受一下这个函数。当x取有理数的时候，函数值为1；当x取无理数的时候，函数值为0。这里纠结的地方在哪里呢？无理数和有理数密密麻麻地掺杂在一起，任意两个无理数之间有无穷多个有理数，任意两个有理数之间有无穷多个无理数。也就是不管x的区间取得多么小，函数值会急剧地在0与1之间反复跳动。
这种跳动不是一般的函数波动，而是捉摸不到的、极其迅速的跳变。因此狄利克雷函数是极度不连续的。
所以，狄利克雷函数的一个重要特点就是：无法作图。你可以试着把x轴上的有理数和无理数进行分离，属于有理数的点上升一个单位，属于无理数的点停留在原处。当然，这只能存在于想象中，图形无法表示。
这就使得函数的概念扩大了。函数不一定需要表达式，甚至不需要图像，它成为了一个抽象的概念。只要存在某种对应关系，我们就可以称之为函数。
狄利克雷函数的奇偶性和周期性
假设 x x x 是在正半轴上的，如果它是有理数， − x -x −x 也为有理数；如果它是无理数， − x -x −x 也为无理数。例如 x = π x=\pi x=π，那么 f ( π ) = 0 , f ( − π ) = 0 f(\pi)=0, f(-\pi)=0 f(π)=0,f(−π)=0。所以对于一切 x x x， f ( x ) = f ( − x ) f(x)=f(-x) f(x)=f(−x) 。于是狄利克雷函数是偶函数，也就是它的图像是轴对称的，是可以关于 y y y 轴折起来的（实数的对称性）。
再说周期性。任何有理数都可以作为狄利克雷函数的周期。即 f ( x + 有 理 数 ) = f ( x ) f(x+有理数)=f(x) f(x+有理数)=f(x) 。如果 x x x 为有理数，则有 1 = 1 1=1 1=1；如果 x x x 为无理数，则有 0 = 0 0=0 0=0。
无理数可不可以作为函数的周期呢？答案是否定的。假设无理数可以作为周期，肯定有 f ( x + π ) = f ( x ) f(x+\pi)=f(x) f(x+π)=f(x)。如果我取 x = − π x=-\pi x=−π，则得到 1 = 0 1=0 1=0。然而这是不成立的，说明假设是错误的。
最后，我们回到函数的“极度”不连续上。“极度”的意思就是函数“图像”下面没有面积，也就是它和x轴围不出面积。那么我们就要去问：函数不连续到什么程度它下面才会没有面积？
From: 狄利克雷函数
作用
- 定义在整个数轴上。
- 无法画出图像。
- 以任何正有理数为其周期（从而无最小正周期）。
- 处处无极限、不连续、不可导。
- 在任何有界区间上黎曼不可积。另一方面也作为反例说明了对于黎曼积分，单调收敛定理不成立。
- 是偶函数。
- 它在 [ 0 , 1 ] [0,1] [0,1] 上勒贝格可积。
它就是一朵奇葩，打破你对函数基本性质的一切美好想象。它是一柄照妖镜，在你猜测一个关于函数的命题前，可以先用它照一下。
From: 狄利克雷函数（Dirichlet Function）有什么用处？
dirac 在 Matlab 中使用
Syntax
d = dirac(x)
d = dirac(n,x)
d = dirac(x) represents the Dirac delta function of x.
d = dirac(n,x) represents the nth derivative of the Dirac delta function at x.
dirac(t)
这表示关于 t t t 的狄利克雷函数
dirac(1,t)
dirac(2,t)
因此，这两个分别表示关于 t t t 的狄利克雷函数的 1 阶 2 阶导数。
dirac(t,1)
ans = 0
dirac(t,2)
ans = 0
dirac(t,0)
ans = (-1)^t*Inf
From: https://ww2.mathworks.cn/help/symbolic/sym.dirac.html
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