RBF神经网络简单介绍与MATLAB实现

RBF的直观介绍

RBF具体原理，网络上很多文章一定讲得比我好，所以我也不费口舌了，这里只说一说对RBF网络的一些直观的认识

1 RBF是一种两层的网络

2 RBF的隐层是一种非线性的映射

3 RBF输出层是线性的

4 RBF的基本思想是：将数据转化到高维空间，使其在高维空间线性可分

上面的例子，就将原来的数据，用高斯函数转换到了另一个二维空间中。在这个空间里，XOR问题得到解决。可以看到，转换的空间不一定是比原来高维的。

RBF学习算法

对于上图的RBF网络，其未知量有：中心向量$u_i$，高斯函数中常数$\sigma$，输出层权值$W$。
学习算法的整个流程大致如下图：

具体可以描述为：

1. 利用kmeans算法寻找中心向量$u_i$
2. 利用kNN(K nearest neighbor)rule 计算 $\sigma$
   $${\sigma }_i=\sqrt{\frac{1}{K}\sum _{k=1}^K\Vert u_k-u_i{\Vert }^2}$$
   
   
3. $W$可以利用最小二乘法求得

Lazy RBF

可以看到原来的RBF挺麻烦的，又是kmeans又是knn。后来就有人提出了lazy RBF，就是不用kmeans找中心向量了，将训练集的每一个数据都当成是中心向量。这样的话，核矩阵$\Phi$就是一个方阵，并且只要保证训练中的数据是不同的，核矩阵$\Phi$就是可逆的。这种方法确实lazy，缺点就是如果训练集很大，会导致核矩阵$\Phi$也很大，并且要保证训练集个数要大于每个训练数据的维数。

MATLAB实现RBF神经网络

下面实现的RBF只有一个输出，供大家参考参考。对于多个输出，其实也很简单，就是$W$变成了多个，这里就不实现了。

demo.m 对XOR数据进行了RBF的训练和预测，展现了整个流程。最后的几行代码是利用封装形式进行训练和预测。

clc; clear all; close all; %% ---- Build a training set of a similar version of XOR c_1 = [0 0]; c_2 = [1 1]; c_3 = [0 1]; c_4 = [1 0]; n_L1 = 20; % number of label 1 n_L2 = 20; % number of label 2 A = zeros(n_L1*2, 3); A(:,3) = 1; B = zeros(n_L2*2, 3); B(:,3) = 0; % create random points for i=1:n_L1 A(i, 1:2) = c_1 + rand(1,2)/2; A(i+n_L1, 1:2) = c_2 + rand(1,2)/2; end for i=1:n_L2 B(i, 1:2) = c_3 + rand(1,2)/2; B(i+n_L2, 1:2) = c_4 + rand(1,2)/2; end % show points scatter(A(:,1), A(:,2),[],'r'); hold on scatter(B(:,1), B(:,2),[],'g'); X = [A;B]; data = X(:,1:2); label = X(:,3); %% Using kmeans to find cinter vector n_center_vec = 10; rng(1); [idx, C] = kmeans(data, n_center_vec); hold on scatter(C(:,1), C(:,2), 'b', 'LineWidth', 2); %% Calulate sigma n_data = size(X,1); % calculate K K = zeros(n_center_vec, 1); for i=1:n_center_vec K(i) = numel(find(idx == i)); end % Using knnsearch to find K nearest neighbor points for each center vector % then calucate sigma sigma = zeros(n_center_vec, 1); for i=1:n_center_vec [n, d] = knnsearch(data, C(i,:), 'k', K(i)); L2 = (bsxfun(@minus, data(n,:), C(i,:)).^2); L2 = sum(L2(:)); sigma(i) = sqrt(1/K(i)*L2); end %% Calutate weights % kernel matrix k_mat = zeros(n_data, n_center_vec); for i=1:n_center_vec r = bsxfun(@minus, data, C(i,:)).^2; r = sum(r,2); k_mat(:,i) = exp((-r.^2)/(2*sigma(i)^2)); end W = pinv(k_mat'*k_mat)*k_mat'*label; y = k_mat*W; %y(y>=0.5) = 1; %y(y<0.5) = 0; %% training function and predict function [W1, sigma1, C1] = RBF_training(data, label, 10); y1 = RBF_predict(data, W, sigma, C1); [W2, sigma2, C2] = lazyRBF_training(data, label, 2); y2 = RBF_predict(data, W2, sigma2, C2); 

上图是XOR训练集。其中蓝色的kmenas选取的中心向量。中心向量要取多少个呢？这也是玄学问题，总之不要太少就行，代码中取了10个，但是从结果$y$来看，其实对于XOR问题来说，4个就可以了。

RBF_training.m 对demo.m中训练的过程进行封装

function [ W, sigma, C ] = RBF_training( data, label, n_center_vec ) %RBF_TRAINING Summary of this function goes here % Detailed explanation goes here % Using kmeans to find cinter vector rng(1); [idx, C] = kmeans(data, n_center_vec); % Calulate sigma n_data = size(data,1); % calculate K K = zeros(n_center_vec, 1); for i=1:n_center_vec K(i) = numel(find(idx == i)); end % Using knnsearch to find K nearest neighbor points for each center vector % then calucate sigma sigma = zeros(n_center_vec, 1); for i=1:n_center_vec [n] = knnsearch(data, C(i,:), 'k', K(i)); L2 = (bsxfun(@minus, data(n,:), C(i,:)).^2); L2 = sum(L2(:)); sigma(i) = sqrt(1/K(i)*L2); end % Calutate weights % kernel matrix k_mat = zeros(n_data, n_center_vec); for i=1:n_center_vec r = bsxfun(@minus, data, C(i,:)).^2; r = sum(r,2); k_mat(:,i) = exp((-r.^2)/(2*sigma(i)^2)); end W = pinv(k_mat'*k_mat)*k_mat'*label; end 

RBF_lazytraning.m 对lazy RBF的实现，主要就是中心向量为训练集自己，然后再构造核矩阵。由于$\Phi$一定可逆，所以在求逆时，可以使用快速的’\‘方法

function [ W, sigma, C ] = lazyRBF_training( data, label, sigma ) %LAZERBF_TRAINING Summary of this function goes here % Detailed explanation goes here if nargin < 3 sigma = 1; end n_data = size(data,1); C = data; % make kernel matrix k_mat = zeros(n_data); for i=1:n_data L2 = sum((data - repmat(data(i,:), n_data, 1)).^2, 2); k_mat(i,:) = exp(L2'/(2*sigma)); end W = k_mat\label; end 

RBF_predict.m 预测

function [ y ] = RBF_predict( data, W, sigma, C ) %RBF_PREDICT Summary of this function goes here % Detailed explanation goes here n_data = size(data, 1); n_center_vec = size(C, 1); if numel(sigma) == 1 sigma = repmat(sigma, n_center_vec, 1); end % kernel matrix k_mat = zeros(n_data, n_center_vec); for i=1:n_center_vec r = bsxfun(@minus, data, C(i,:)).^2; r = sum(r,2); k_mat(:,i) = exp((-r.^2)/(2*sigma(i)^2)); end y = k_mat*W; end