马尔可夫不等式

马尔可夫不等式以下内容摘自此处 假设随机变量的取值为非负数 则马尔可夫不等式可写为如下形式 其中 该公式可证明如下 即

以下内容摘自此处.

假设随机变量X的取值为非负数, 则马尔可夫不等式可写为如下形式:

P(X\ge a) \le \frac{E(X)}{a}, 其中a \ge 0.

该公式可证明如下:

E(X)=\int_0^\infty xP(X=x)dx\\ =\int_0^a xP(X=x)dx + \int_a^\infty xP(X=x)dx\\ \ge \int_a^\infty xP(X=x)dx \\ \ge \int_a^\infty aP(X=x)dx\\ = a\int_a^\infty P(X=x)dx\\ = aP(X \ge a)

即 E(X) \ge aP(X \ge a) \Rightarrow P(X\ge a) \le \frac{E(X)}{a}

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