向量点乘与叉乘

全栈程序员-站长 • 2026年3月20日上午11:08 • 未分类 • 阅读 3

向量点乘与叉乘

向量（Vector）
在几乎所有的几何问题中，向量（有时也称矢量）是一个基本点。向量的定义包含方向和一个数（长度）。在二维空间中，一个向量可以用一对x和y来表示。例如由点（1,3）到（5,1的向量可以用(4,-2）来表示。这里大家要特别注意，我这样说并不代表向量定义了起点和终点。向量仅仅定义方向和长度。

向量加法
      向量也支持各种数学运算。最简单的就是加法。我们可以对两个向量相加，得到的仍然是一个向量。我们有：
      V1（x1, y1）+V2（x2, y2）=V3(x1+x2, y1+y2)
      下图表示了四个向量相加。注意就像普通的加法一样,相加的次序对结果没有影响（满足交换律），减法也是一样的。

点乘（Dot Product）
      如果说加法是凭直觉就可以知道的，另外还有一些运算就不是那么明显的，比如点乘和叉乘。
      点乘比较简单，是相应元素的乘积的和：
      V1( x1, y1)   V2(x2, y2) = x1*x2 + y1*y2
      注意结果不是一个向量，而是一个标量（Scalar）。点乘有什么用呢，我们有：
      A   B = |A||B|Cos(θ)
      θ是向量A和向量B见的夹角。这里|A|我们称为向量A的模(norm)，也就是A的长度，在二维空间中就是|A| = sqrt(x2+y2)。这样我们就和容易计算两条线的夹角： Cos(θ) = AB /(|A||B|)

当然你知道要用一下反余弦函数acos()啦。（回忆一下cos(90)=0 和cos(0) = 1还是有好处的，希望你没有忘记。）这可以告诉我们如果点乘的结果，简称点积，为0的话就表示这两个向量垂直。当两向量平行时，点积有最大值
另外，点乘运算不仅限于2维空间，他可以推广到任意维空间。（译注：不少人对量子力学中的高维空间无法理解，其实如果你不要试图在视觉上想象高维空间，而仅仅把它看成三维空间在数学上的推广，那么就好理解了）

叉乘（cross product）
      相对于点乘，叉乘可能更有用吧。2维空间中的叉乘是：
      V1(x1, y1) X V2(x2, y2) = x1y2 – y1x2
      看起来像个标量，事实上叉乘的结果是个向量，方向在z轴上。上述结果是它的模。在二维空间里，让我们暂时忽略它的方向，将结果看成一个向量，那么这个结果类似于上述的点积，我们有：
    A x B = |A||B|Sin(θ)

然而角度 θ和上面点乘的角度有一点点不同，他是有正负的，是指从A到B的角度。因此，向量的外积不遵守乘法交换率，因为向量a×向量b=-向量b×向量a在物理学中，已知力与力臂求外积，就是向量的外积，即叉乘。

向量c的方向与a,b所在的平面垂直，且方向要用“右手法则”判断。判断方法如下：

1.右手手掌张开，四指并拢，大拇指垂直于四指指向的方向；

2.伸出右手，四指弯曲，四指与A旋转到B方向一致，那么大拇指指向为C向量的方向。

向量点乘与叉乘