正规矩阵

将学习以什么

理解正规矩阵

定义

  定义 1： 矩阵 \(A\in M_n\) 称为是正规的，如果 \(AA^*=A^*A\), 也就是，如果 \(A\) 与它的共轭转置可交换。
 
根据定义可以得出以下结论：

• 如果 \(A\in M_n\) 是正规的，且 \(\alpha \in \mathbb{C}\), 显然 \(\alpha A\) 是正规的. 即正规矩阵类在用复纯量作的乘法运算下是封闭的
• 如果 \(A\in M_n\) 是正规的，又如果 \(B\) 与 \(A\) 酉相似，即存在酉矩阵 \(U\) 使得 \(B=U^*AU\), 由 \(BB^*=(U^*AU)(U^*A^*U)=U^*AA^*U=U^*A^*UU^*AU=B^*B\), 所以 \(B\) 也是正规的，即正规矩阵类在酉相似之下是封闭的
• 如果 \(A\in M_n\) 与 \(B \in M_m\) 是正规的, 显然 \(A\oplus B\in M_{n+m}\) 是正规的. 即正规矩阵类在直和运算下是封闭的
• 如果 \(A\in M_n\) 与 \(B \in M_m\), 如果 \(A\oplus B\in M_{n+m}\) 是正规的，那么 \(A\) 与 \(B\) 也是正规的
• 每个酉矩阵、Hermite 矩阵、斜 Hermite 矩阵、实正交矩阵、实对称矩阵以及实的斜对称矩阵都是正规的

几何角度

对于正规矩阵 \(A\in M_n\), 按列来分划 \(A=[c_1 \quad \cdots \quad c_n]\) 以及 \(A^T=[r_1 \quad \cdots \quad r_n]\), 向量 \(c_j\) 是 \(A\) 的列，而向量 \(r_i^T\) 是 \(A\) 的行. 定义恒等式 \(AA^*=A^*A\) 提示出：\(A\) 是正规的，当且仅当对所有 \(i,j=1,\cdots,n\) 都有 \(c_i^*c_j=\overline{r_i^*r_j}\), 特别地，\(c_i^*c_i=\lVert c_i \rVert _2^2 = \lVert r_i \rVert _2^2=r_i^*r_i\), 所以 \(A\) 的每一列与它对应的行一样，有同样的 Euclid 范数；一列为零当且仅当对应的行为零.
如果 \(A \in M_n(\mathbb{R})\) 是实的正规矩阵，那么对所有 \(i\) 与 \(j\) 都有 \(c_i^Tc_j=\langle c_i,c_j \rangle=\langle r_i, r_j \rangle=r_i^T r_j\). 如果 \(i\) 列与 \(j\) 列不是零，那么 \(i\) 行与 \(j\) 行不是零，且恒等式
\begin{align}
\frac{\langle c_i,c_j \rangle}{\lVert c_i \rVert _2 \lVert c_j \rVert _2} =\frac{\langle r_i, r_j \rangle}{\lVert r_i \rVert _2 \lVert r_j \rVert _2}
\end{align}
告诉我们：\(A\) 的 \(i\) 列与 \(j\) 列的向量之间的角度与 \(A\) 的 \(i\) 行与 \(j\) 行的向量之间的角度是相同的.
 
对于正规矩阵。关于它的某种为零的分块有某些特殊之处.

基本结果

一般结果

如果 \(X,Y \in M_{n,k}\) 都有标准正交的列，又如果 \(\mathrm{range}\,X=\mathrm{range}\,Y\), 那么 \(X\) 的每一列都是 \(Y\) 的线性组合，这就是说，对某个 \(G \in M_k\) 有 \(X=YG\). 这样就有 \(I_k=X^*X=(YG)^*(YG)=G^*(Y^*Y)G=G^*G\), 所以 \(G\) 必定是酉矩阵. 这一结果就对如下的唯一性定理的第一部分给出一人几何解释.

关于实的正规矩阵

  定理 4： 设 \(A \in M_n(\mathbb{R})\) 是正规的.
  (a) 存在一个实正交矩阵 \(Q \in M_n(\mathbb{R})\), 使得 \(Q^TAQ\) 是实的拟对角矩阵
\begin{align} \label{e5}
A_1 \oplus \cdots \oplus A_m \in M_n(\mathbb{R}), \quad \text{每个},, A_i ,, \text{都是},, 1 \times 1 ,, \text{或},, 2\times 2 ,, \text{的}
\end{align}
它满足下述性质：上式中的那些 \(1\times 1\) 直和项给出 \(A\) 所有实的特征值. \(2 \times 2\) 直和项有特殊的形式
\begin{align} \label{e6}
\begin{bmatrix} a & b \\ -b & a \end{bmatrix}
\end{align}
其中 \(b>0\). 该矩阵是正规的且有特征值 \(a \pm \mathrm{i} b\).
  (b) 式 \ref{e5} 中的直和项由 \(A\) 的特征值完全决定，它们可以按照任意预先指定的次序出现.
  (c) 两个实的 \(n \times n\) 正规矩阵是实正交相似的，当且仅当它们有同样的特征值.
 
  证明：实 Schur 型 确保 \(A\) 与一个实的上拟三角矩阵实正交相似，它的每一个 \(2 \times 2\) 对角分块有一对非实的共轭特征值. 由于这个拟三角矩阵是正规的，所以它实际上是拟对角的，且它的每一个 \(2 \times 2\) 直和项都是正规的，且有一对共轭的非实特征值. 上一个引理告诉我们：这些 \(2 \times 2\) 直和项中的每一个都有特殊的形式 \ref{e6}, 其中 \(b \neq 0\). 如果必要，我们可以通过矩阵 \(\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}\) 做成的相似来确保 \(b>0\). (b) \ref{e5} 中的直和项给出了 \(A\) 所有的特征值，且通过置换相似还能使得这些直和项按照所期望的任何次序排列. (c) 两个有同样的特征值的实的 \(n \times n\) 正规矩阵与同一个形如 \ref{e5} 的直和实正交相似.
 
上一个定理揭示出实正规矩阵在实正交相似下的标准型. 它引导到实对称矩阵、实的斜对称矩阵以及实正交矩阵在实正交相似之下的标准型.
 

应该知道什么

• 每个酉矩阵、Hermite 矩阵、斜 Hermite 矩阵、实正交矩阵、实对称矩阵以及实的斜对称矩阵都是正规的
• 正规矩阵类在酉相似和直和之下是封闭的
• 正规矩阵可以酉对角化且是无亏的
• 两个正规矩阵是酉相似的，当且仅当它们有同样的特征值
• 可交换的正规矩阵可以同时酉对角化