李雅普诺夫稳定性分析

一、基本概念

1.1、标量函数的定号性

定义1-1：若V(0)=0，且对任意非零x，李雅普诺夫稳定性分析 V(x) 正定（半正定）；

定义1-2：若 -V(x) 是正定（半正定）的，称标量函数 V(x) 负定（半负定）；

定义1-3：正定和半正定（负定和半负定）统称为非负定（非正定），无任何定号性称为不定。

注意：

（1）V(0)=0是定号性的必要条件。在不引起混淆时，可直接用李雅普诺夫稳定性分析 V(x)=[(x_1^2+x_2^2)-1](x_1^2+x_2^2) 在域 $\left \{ \Omega | x_1^2+x_2^2<1 \right \}$ 上是负定的。

如：(在二维空间下)

x_1^2+x_2^2 正定； (x_1+x_2)^2 半正定； x_1^2-x_2^2 不定

考虑二次函数 x^TAx 的定号性，是实对称矩阵

定理1-1：实对称矩阵是正定（半正定）的，当且仅当所有特征值均大于（大于等于）零；

定理1-2：实对称矩阵是正定（半正定）的，当且仅当所有主子式均大于（大于等于）零；

实对称矩阵的各阶顺序主子式：

$\pi_1=a_{11},\pi_2=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix},\pi_n=\left | A \right |$

定理1-3（赛尔维斯特判据）：实对称矩阵为

（1）正定当且仅当李雅普诺夫稳定性分析的正定性时，可以将主子式简化为顺序主子式；

（2）在判断矩阵的半正定性时，不可以将主子式简化为顺序主子式；

1.2、李雅普诺夫稳定性

向量的2范数：实数向量 $z \in R^n$ ，其2范数定义为

$\left \| z \right \|=\sqrt{z_1^2+z_2^2+\dots+z_n^2}$

定义1-4：对于系统 $\dot{x}=f(x,t)$ ，满足 f(x_e,t)=0 的状态 x_e 称作系统的平衡状态或平衡点；（ x_e 为常数向量，为状态空间中的一个点）

定义1-5：若某一点附近足够小的邻域内没有别的平衡点，则称它为孤立平衡点。

例：

（1）原点为平衡点，且为唯一的平衡点，当然也为孤立平衡点

李雅普诺夫稳定性分析

（2）原点为其中之一平衡点，平衡点不唯一，但均孤立

李雅普诺夫稳定性分析

（3）当 x_2 为0时， x_1 为任何值均为平衡点，故平衡点不孤立

李雅普诺夫稳定性分析

定义1-6：假设 x_e 是系统 $\dot{x}=f(x)$ 的孤立平衡状态。如果对于任意给定正实数李雅普诺夫稳定性分析 $\left \| x_0-x_e \right \| \leq \delta (\varepsilon )$

的任意初始状态出发的系统运动 x(t) 均成立

$\left \| x(t)-x_e \right \| \leq \varepsilon ,t \geq t_0$

则称平衡状态 x_e 是（在李雅普诺夫意义下）稳定的。

若 x_e 不满足上述稳定的条件，称平衡状态 x_e 不稳定。

（通俗来讲就是在一定范围内（ $\delta (\varepsilon )$ ）出发的状态均能在一定时间后回到平衡状态的一定区域（ $\varepsilon$ ）内）

定义1-7：若 x_e 稳定，且存在一个邻域（吸引域），其内出发的运动恒有 $\lim_{t \to \inf}\left \| x-x_e \right \|=0$ ，称平衡状态 x_e 渐近稳定；

定义1-8：若 x_e 渐进稳定，且吸引域充满整个状态空间，称平衡状态 x_e 全局渐近稳定（大范围渐近稳定）。

注意：平衡状态唯一是全局渐近稳定的必要条件。

李雅普诺夫稳定性的示意性说明：（平衡点为原点 x_e ）

（1）稳定

李雅普诺夫稳定性分析

任意给定一个 $\varepsilon$ 圆，圆心为 x_e ，半径为 $\varepsilon$ ；那么均存在一个 $\delta (\varepsilon )$ 圆，圆心为 x_e ，半径为 $\delta (\varepsilon )$ ； $\delta (\varepsilon )$ 圆内，任意点出发的运动，都维持在 $\varepsilon$ 圆内，则称其为稳定的（李雅普诺夫稳定）；

（2）渐进稳定

李雅普诺夫稳定性分析

若平衡状态 x_e ，不仅为李雅普诺夫稳定，还存在一个邻域，从邻域内出发的运动，都会渐进的收敛到平衡点 x_e ，这时称其为渐进稳定；

李雅普诺夫稳定性分析

若平衡状态不满足上述所说的条件，存在某个 $\varepsilon$ ，我们无论选取怎样的 $\delta (\varepsilon )$ ，均存在从某个出发的状态都运动到 $\varepsilon$ 圆之外，称为不稳定。

二、李雅普诺夫稳定性分析方法

2.1、第一方法（间接法）（将系统的描述在平衡点附近进行线性化，针对线性化模型进行稳定性判断，判断的特征值的实部）

设 x_e 是系统 $\dot{x}=f(x)$ 的平衡状态。该系统在 x_e 处的线性化模型为：

$\dot{y}=Ay, A= \frac{\partial f}{\partial x^T}|_{x=x_e}=\begin{bmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \frac{\partial f_1}{\partial x_2} & \dots &\frac{\partial f_1}{\partial x_n} \\ \frac{\partial f_2}{\partial x_1} &\frac{\partial f_2}{\partial x_2} & &\frac{\partial f_2}{\partial x_n} \\ \vdots &\vdots & \ddots &\vdots \\ \frac{\partial f_n}{\partial x_1} &\frac{\partial f_n}{\partial x_2} & \dots & \frac{\partial f_n}{\partial x_n} \end{bmatrix}$

其中， y=x-x_e 。（矩阵为雅克比矩阵）

根据A的特征值，有如下稳定性判别定理：

定理2-1：若的特征值均具有负实部， x_e 是渐进稳定的；若存在特征值具有正实部， x_e 是不稳定的；其它情况，则不能判定。

例：判断下列系统在原点处的稳定性。

$\left\{\begin{matrix} \dot{x_1}=x_2cosx_1\\ \dot{x_2}=-sinx_1-x_2 \end{matrix}\right.$

解：可知 f_1=x_2cosx_1 , f_2=-sinx_1-x_2 ，故可求得原点处的雅克比矩阵为：

$A=\begin{bmatrix} -x_2 sin x_1 & cos x_1 \\ -cos x_1 & -1 \end{bmatrix}|_{x=0}=\begin{bmatrix} 0 & 1\\ -1 & -1 \end{bmatrix}$

特征根均在左半开平面内，因此原点是该系统的渐近稳定平衡点。（该例中的系统有多个平衡点，因此原点不是其渐近稳定平衡点）。

注意：线性化方法不能给出全局稳定性的判断。

例：判断下述系统在原点处的稳定性

$\left\{\begin{matrix} \dot{x_1}=-3 x_1^3\\ \dot{x_2}=3 x_1 - x_1x_2 \end{matrix}\right.$

解：原点是系统的平衡点，在原点处线性化可得：

$A=\begin{bmatrix} -3x_1^2 & -4 \\ 3- x_2 & -x_1 \end{bmatrix}|_{x=0}=\begin{bmatrix} 0 & -4\\ 3 & 0 \end{bmatrix}$

特征根均在虚轴上，间接法失效。

2.2、第二方法（直接法）

设原点是系统 $\dot{x}=f(x)$ 的平衡状态。 V(x) 是正定的标量函数（能量函数）它沿系统状态轨线对时间的导数为：

$\dot{V}(x)=\frac{\partial V(x)}{\partial x^T}f(x)$

李雅普诺夫第二方法是根据 V(x) 和 $\dot{V}(x)$ 的定号性，判别系统平衡状态的稳定性。（上式中， $\dot{x}$ 用 f(x) 代替）

定理2-2： V(x) 正定， $\dot{V}(x)$ 负定，则原点是渐近稳定的；进而，若 $\left \| x \right \|\to\infty$ 时， $V(x) \to \infty$ ，则原点是全局渐近稳定；

定理2-3： V(x) 正定， $\dot{V}(x)$ 半负定，则原点是稳定的；此外，若 $\dot{V}(x)$ 除原点外沿状态线不恒为零，则原点是渐近稳定的；再进一步，若 $\left \| x \right \|\to\infty$ 时， $V(x) \to \infty$ ，则原点是全局渐近稳定；

定理2-4： V(x) 正定， $\dot{V}(x)$ 也正定，则原点是不稳定的。

注意：

（1）以上均为充分条件。某 V(x) 不满足定理条件时，不能下结论；

（2）若 V(x) 代表广义能量，则 $\dot{V}(x)$ 代表广义功率。 $\dot{V}(x)<0$ ，说明沿状态轨线运动是消耗能量的。

例：判断下述系统在原点处的稳定性

$\left\{\begin{matrix} \dot{x_1}=-\frac{2x_1}{(1+x_1^2)^2}+2x_2\\ \dot{x_2}=-\frac{2x_1+2x_2}{(1+x_1^2)^2} \end{matrix}\right.$

解：令 $\dot{x_1}$ 和 $\dot{x_2}$ 为0，可知原点为系统唯一的平衡点，利用第一方法也可判定其渐近稳定性，它是渐近稳定的。

考虑李雅普诺夫稳定性分析 $\dot{x_1}$ 和 $\dot{x_2}$ 带入，则 $\dot{V}(x)=-\frac{4x_1^2}{(1+x_1^2)^4}-\frac{4x_2^2}{(1+x_1^2)^2}<0$

所以原点是渐近稳定的。但当 $x_1\to \infty$ ， $x_2 \to \infty$ 时， $V(x) \to 1$ ，即 $\left \| x \right \| \to \infty$ 时， $V(x) \to \infty$ 不成立，不能保证全局渐近稳定。

例：判断下述系统在原点处的稳定性

$\dot{x}=\begin{bmatrix} 0 &1 \\ -1 & -1 \end{bmatrix}x$

解：（1）取李雅普诺夫稳定性分析 $\dot{V}(x)=2x_1x_2-2x_2^2$ ，不定，不能判定；

（2）取李雅普诺夫稳定性分析 $\dot{V}(x)=-2x_2^2$ 半负定，故原点稳定。

若 $\dot{V}(x)\equiv 0$ ，则 $x_2=\dot{x}_2\equiv 0$ ，带入原方程 $\dot{x}_2=-x_1-x_2$ ， $x_1\equiv 0$ ;因而 $\dot{V}(x)\equiv 0$ 仅发生在原点处。当 $\left \| x \right \| \to \infty$ 时， $V(x) \to \infty$ ，所以原点全局渐进稳定。

（3）取李雅普诺夫稳定性分析 $\dot{V}(x)=-x_1^2-x_2^2<0$ ，当 $\left \| x \right \| \to \infty$ 时， $V(x) \to \infty$ ，所以原点全局渐进稳定。

注意：选择不同的函数，可能得到不同的结果，但得到的结论是不矛盾的。找到“好”的函数，需要经验和运气。

例：判断下述系统在原点处的稳定性

$\left\{\begin{matrix} \dot{x_1}=- x_1^3+x_2^4\\ \dot{x_2}=- x_2^3 + x_1^4 \end{matrix}\right.$

解：原点是平衡点但不唯一（点（1,1）同为平衡点）。线性化方法失效（矩阵为零）。

取李雅普诺夫稳定性分析 $\dot{V}(x)=-x_1^4(1-x_2)-x_2^4(1-x_1)$

在 x_1<1 且 x_2<1 的区域内（原点是该区域的内点）， $\dot{V}(x)<0$ ，该系统在原点处是渐近稳定的。（虽然当 $\left \| x \right \| \to \infty$ 时， $V(x) \to \infty$ ，当 $\dot{V}(x)<0$ 限制了区域都并非大范围渐进稳定）。

三、李雅普诺夫函数的构造方法

对于非线性系统，没有一种构造李雅普诺夫函数的通用方法。人们通常凭经验和技巧选取李雅普诺夫函数，最常见的是二次型函数，有些方法适用于一些特定情形，如克拉索夫斯基方法、变量梯度法和偶函数法等方法。

3.1、克拉索夫斯基方法（Krasovskii）

考虑如下非线性系统 $\dot{x}=f(x)$ ，其中 f(x) 存在连续偏导数。定义雅克比矩阵：

$F(x)= \frac{\partial f}{\partial x}=\begin{bmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \dots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \vdots & \vdots\\ \frac{\partial f_n}{\partial x_1} & \dots & \frac{\partial f_n}{\partial x_n} \end{bmatrix}$

待续》》》

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一、基本概念

1.1、标量函数的定号性

1.2、李雅普诺夫稳定性

二、李雅普诺夫稳定性分析方法

2.1、第一方法（间接法）（将系统的描述在平衡点附近进行线性化，针对线性化模型进行稳定性判断，判断的特征值的实部）

2.2、第二方法（直接法）

三、李雅普诺夫函数的构造方法

3.1、克拉索夫斯基方法（Krasovskii）

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1.2、李雅普诺夫稳定性

二、李雅普诺夫稳定性分析方法

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