一元二次方程的回顾和启示
学过初中数学都知道对于任何一个实系数一元二次方程
，通过配方可以得到
，根据判别式
的符号，可以判断方程实根的个数，并且可以得到求根公式
要么是
个不同的实根
，要么是
个二重实根
，要么是
对共轭虚根
；计算重数的情况下都是
个根。
记两根为
可以直接验证韦达定理：
两根之和
以及两根之积
，判别式
.
求根公式看上去复杂，但如果把上述两式代入求根公式
.
注：如果
是共轭虚根，
就是纯虚数，对负数
开方不能得到
.
几何意义：记
是两根的平均值，乘积为
. 如果
都是实根，则
是根到平均值的距离。
求根公式就可以改写成
两根到平均值
的距离
还可以通过下列方式得到：
不妨设
，用平方差公式得到
，立即可以算出
.
可以看到在实根的情况下
是实数轴上两根的中点，而
是两根到中点的距离。
如果
，
和
是共轭虚根，绝对值(长度)相等
在复平面上是
和
连线的中点(在实轴上)，刚好对应由
和
作为两邻边的菱形对角线的交点，是菱形水平方向对角线的一半，而
是中点到两根的有向距离，是菱形竖直方向对角线的一半。
如果考虑一般的复系数一元二次方程呢？任何两个复数
和
都可能是方程的两根，因为由韦达定理可以构造出
所以
就是两根连线的中点，但不一定在实轴上，以
和
为邻边构成的是一个更一般的平行四边形，
是对角线的交点，是其中一条对角线的一半，而
是交点到两根的有向距离，是另外一条对角线的一半。
一元三次方程根的构造
对于实系数一元三次方程
，自然会想能不能用配方法？
当然可以，只不过这里并不是配成完全平方而是配成完全立方：
根据前两项两边同时加上
和
可以把左边变成完全立方，也就是
这时右边等于
有
的一次项，不能像一元二次方程配方后可以直接开平方根得到方程的根。但这提示我们可以作变量替换
把根整体平移
个单位，得到更简单的没有2次项的方程
(或者用直接用待定系数法确定平移量)
令
，
方程简化为
. 从这里可以看出，配方法能做到的只是消去比方程次数低一次的那项(次高次项)，结合韦达定理可以知道，只不过是找到了方程的三个根的平均值，做一个平移，让新得到的方程的三个根的平均值为0.
这里有很多种变量替换的方法求解
.
一、卡尔达诺方法(Cardano’s method)
引入两个新的变量
令
，代入可得
令
，方程变为
.
只要
满足
且
，那么
就是
的根。
由第一个方程可得
，代入第二个方程得
.
两边同时乘以
可得
是
的一元二次方程，由求根公式可得
立方根有三个，这里取其中一个
由
得对应的
可以表示成
得到方程的一个根为
设
为单位原根满足
(
)，可以得到另外两个根分别为
.
注意到
，
，因此也可以用下面的替换来推导出求根公式：
二、韦达替换(Vieta’s substitution)
令
，代入可得
注意到
是
的一元二次方程，所以
代回可得
上面两种办法都通过变量替换推导求根公式，经过长期解具体方程总结得出一般规律，比如发现三次方程的根可以表示成两个立方根之和，有了这个根的形式的预判，求根公式就呼之欲出了。再后来Lagrange通过离散傅立叶变换统一求解低次方程，但这方法无法推广到5次方程。
三、拉格朗日方法(Lagrange’s Method)
对于一般的二次方程， 根可以表示为：
其中
是根的对称多项式，
虽然本身不是，但平方后也是根的对称多项式，可以用基本对称多项式表出
. 再根据韦达定理，可以推出求根公式。
对于一般的一元三次方程，记
，根可以表示为：
和
本身不是对称多项式，但两者立方后得到
然后两者相加可得立方和
是根的对称多项式，乘积
是根的对称多项式，乘积的立方
也是根的对称多项式。
对于一般的一元三次方程
，
对称多项式
和
可以由基本对称多项式
多项式表出，因此是方程系数的多项式。
也就是存在多项式
和
使得
和
. 容易看出
和
是一元二次方程
(预解式)的两根，可以用二次方程求根公式得到，再代回下列三式就可以得到三次方程的三个根：
对于约简后的一元三次方程
，和Cardano和Vieta方法殊途同归，得到相同的求根公式。
把
都用根表示代进去化简，可以得到平方根下的表达式为
展开后刚好是
的分子的相反数，也就是
，称之为方程的判别式，可以用来判断方程是否有重根。
如果
，
，非实的复根一定成对出现，所以只可能是实根是重根，剩下一个根也不可能是非实的复根，所以三个根都是实根；最特殊的情况是1个三重实根(
)。
如果
，
，一定是只有1个实根，两个非实的共轭复根；
如果
，
，一定是3个不同实根。
对于一般的三次方程
，判别式
四、三角解法 (Trigonometric Method) 和几何意义
如果实系数方程
有三个不同的实根 (
，一定有
)，用求根公式表示出来会有虚数
但如果用三角函数表示出来，不仅可以避免复数，还可以看出三个根的分布。
为了利用三倍角公式
，待定系数可设
，
代入可得
，
只需要满足系数成比例，也就是
，解得
.
原方程变为
.
.
当然也可以取为
圆心在y轴上任意一点，半径为
的圆上，三个点分别对应
，三个根是这三个点在横轴上的投影。对于一般情形圆心需要平移
，刚好在三次函数
图像的拐点处。
方程有3个不同的实的单根，对应函数图像与横轴的3个交点(均斜穿过横轴)；函数图像有2个转折点(turning points)，对应一个局部最大和一个局部最小。
五、三次函数的图像
三次函数
转折点的数量取决于其导函数
的判别式
.
或者通过水平方向的平移消掉二次项和竖直方向上的拉伸压缩(或者还需要沿横轴的反射)把首项系数变为1，可以得到
，
，判别式是
，事实上，我们有
.
可以看出如果
那么函数图像一定有两个转折点(局部最大和局部最小)；
则会有一个不是转折点的临界点；
则没有临界点(没有水平切线)。
下面不妨记
为情形(1)，这种情形一定有
,
e.g.
.
当
时，有一个实根和一对非实的共轭复根，对应函数图像与x轴的1个交点(斜穿过横轴)；根据转折点的数量又分为三种情形
情形(2)：
2个转折点，对应一个局部最大和一个局部最小，
e.g.
；
情形(3)：
1个非转折点的临界点，函数在定义域
上单调，e.g.
，
.
情形(4)：
0个临界点，函数在定义域
上单调，e.g.
.
当
时，又对应两种情况：
情形(5)：
1个二重实根和1个实单根，函数图像在二重根处与横轴相切不穿过，在单根处斜穿过，一定有两个转折点，对应一个局部最大和一个局部最小，e.g.
.
情形(6)：
1个三重实根，函数图像在三重实根处与x轴相切穿过，没有转折点，函数在定义域
上单调，e.g.
.
发布者：全栈程序员-站长，转载请注明出处：https://javaforall.net/201698.html原文链接：https://javaforall.net
