[Math] 二阶行列式和三阶行列式的几何意义的证明

证明：二阶行列式和三阶行列式的几何意义的证明

今天突发奇想去复习线性代数（主要是看数值分析发现自己线代忘得差不多了），然后就突然看见一句话，说是二阶行列式的几何意义就是其平行四边形的面积，三阶行列式的几何意义是其六面体的体积，尝试证明

二阶行列式

1. 直观证明
   如图可见，由于平行四边形的定义，面积由底边和底边所对应的高决定，因此在下图平移过程中，蓝色和灰色的平行四边形的面积适中保持不变的，移动到合适位置时，可以显而易见的看到 以(a,b)和(c,d)为边的平行四边形是 以(a,0)和(0,d)为底边的长方形 与 以(c,0)和(0,b)为底边的长方形 的面积之差。
   
   图片来源 Matrix67: The Aha Moments
   
   
   
2. 算式证明：平行四边形面积S = $\overrightarrow{ab}\times \overrightarrow{cd}$ = $|\overrightarrow{ab}||\overrightarrow{cd}|$ $sin\theta$ = $ad-bc$ ?
   由于$\overrightarrow{ab}\cdot \overrightarrow{cd}$ = $|\overrightarrow{ab}||\overrightarrow{cd}|$ $cos\theta$，即 $cos\theta$ = $\frac{\overrightarrow{ab}\cdot \overrightarrow{cd}}{|\overrightarrow{ab}||\overrightarrow{cd}|}$，即 $sin\theta$ = $\sqrt{1-co{s}^2\theta }$ = $\sqrt{1-(\frac{\overrightarrow{ab}\cdot \overrightarrow{cd}}{|\overrightarrow{ab}||\overrightarrow{cd}|}{)}^2}$
   试证明 S = $|\overrightarrow{ab}||\overrightarrow{cd}|$ s i n θ { 1 } sin\theta\{1\} sinθ{
   1}= a d − b c { 2 } ad-bc\{2\} ad−bc{
   2}?
   式 { 1 } \{1\} {
   1}可以进一步化为 $|\overrightarrow{ab}||\overrightarrow{cd}|\sqrt{1-co{s}^2\theta }$ = $|\overrightarrow{ab}||\overrightarrow{cd}|\sqrt{1-(\frac{\overrightarrow{ab}\cdot \overrightarrow{cd}}{|\overrightarrow{ab}||\overrightarrow{cd}|}{)}^2}$
   式 { 1 } \{1\} {
   1}，式 { 2 } \{2\} {
   2}同时平方
   式 { 1 } = ( ∣ a b → ∣ ∣ c d → ∣ 1 − ( a b → ⋅ c d → ∣ a b → ∣ ∣ c d → ∣ ) 2 ) 2 = ( a 2 + b 2 c 2 + d 2 1 − ( a b → ⋅ c d → ∣ a b → ∣ ∣ c d → ∣ ) 2 ) 2 = ( a 2 + b 2 c 2 + d 2 1 − ( a c + b d a 2 + b 2 c 2 + d 2 ) 2 ) 2 = ( a 2 + b 2 c 2 + d 2 1 − ( a c + b d ) 2 ( a 2 + b 2 ) ( c 2 + d 2 ) ) 2 = ( ( a 2 + b 2 ) ( c 2 + d 2 ) ( 1 − ( a c + b d ) 2 ( a 2 + b 2 ) ( c 2 + d 2 ) ) ) 2 = ( ( a 2 + b 2 ) ( c 2 + d 2 ) − ( a c + b d ) 2 ) 2 = ( ( a 2 c 2 + a 2 d 2 + b 2 c 2 + b 2 d 2 ) − ( a 2 c 2 + 2 a b c d + b 2 d 2 ) ) 2 = ( a 2 d 2 + b 2 c 2 − 2 a b c d ) 2 = ( ( a d − b c ) 2 ) 2 = ( a d − b c ) 2 = 式 { 2 } \begin{aligned} 式\{1\}&= (|\overrightarrow{ab} ||\overrightarrow{cd}|\sqrt{1-(\frac{\overrightarrow{ab} \cdot\overrightarrow{cd}}{|\overrightarrow{ab} ||\overrightarrow{cd}|})^2})^2\\ &=({\sqrt{a^2+b^2}}{\sqrt{c^2+d^2}}\sqrt{1-(\frac{\overrightarrow{ab} \cdot\overrightarrow{cd}}{|\overrightarrow{ab} ||\overrightarrow{cd}|})^2})^2 \\ &=({\sqrt{a^2+b^2}}{\sqrt{c^2+d^2}}\sqrt{1-(\frac{ac+bd}{
   {\sqrt{a^2+b^2}}{\sqrt{c^2+d^2}}})^2})^2\\ &=({\sqrt{a^2+b^2}}{\sqrt{c^2+d^2}}\sqrt{1-\frac{(ac+bd)^2}{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}})^2\\ &=(\sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)(1-\frac{(ac+bd)^2}{(a^2+b^2)(c^2+d^2)})})^2\\ &=(\sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)-(ac+bd)^2})^2\\ &=(\sqrt{(a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2)-(a^2c^2+2abcd+b^2d^2)})^2\\ &=(\sqrt{a^2d^2+b^2c^2-2abcd})^2\\ &=(\sqrt{(ad-bc)^2})^2 = (ad-bc)^2 = 式\{2\} \end{aligned} 式{
   1}​=(∣ab
   ∣∣cd
   ∣1−(∣ab
   ∣∣cd
   ∣ab
   ⋅cd
   ​)2
   ​)2=(a2+b2
   ​c2+d2
   ​1−(∣ab
   ∣∣cd
   ∣ab
   ⋅cd
   ​)2
   ​)2=(a2+b2
   ​c2+d2
   ​1−(a2+b2
   ​c2+d2
   ​ac+bd​)2
   ​)2=(a2+b2
   ​c2+d2
   ​1−(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2​
   ​)2=((a2+b2)(c2+d2)(1−(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2​)
   ​)2=((a2+b2)(c2+d2)−(ac+bd)2
   ​)2=((a2c2+a2d2+b2c2+b2d2)−(a2c2+2abcd+b2d2)
   ​)2=(a2d2+b2c2−2abcd
   ​)2=((ad−bc)2
   ​)2=(ad−bc)2=式{
   2}​
   
   
   
   
   

三阶行列式 。。。（暂时不知道，后续懂了再码）