设 f ( x ) f(x) f(x)在节点 a ≤ x 0 , x 1 , ⋯ , x n ≤ b a\le x_0, x_1,\cdots,x_n\le b a≤x0,x1,⋯,xn≤b处的函数值为 f 0 , f 1 , . . . , f n f_0,f_1,…,f_n f0,f1,...,fn，设 P ( x ) 为 f ( x ) P(x)为f(x) P(x)为f(x)在区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]上的具有一阶导数的插值函数
（1）若要求 P ( x ) P(x) P(x)在 [ a , b ] [a,b] [a,b]上具有一阶导数（一阶光滑度）
P ( x i ) = f ( x i ) = f i P ′ ( x i ) = f ′ ( x i ) = f ′ , i = 0 , 1 , . . . , n P(x_i)=f(x_i)=f_i\\ P'(x_i)=f'(x_i)=f’, i=0,1,…,n P(xi)=f(xi)=fiP′(xi)=f′(xi)=f′,i=0,1,...,n
P ( x ) P(x) P(x)可以是最高次数为2n+1次多项式，两个节点就可以用 2 × 1 + 1 = 3 2\times 1+1=3 2×1+1=3次多项式作为插值函数。
（2）同样，若要求 P ( x ) 在 [ a , b ] P(x)在[a,b] P(x)在[a,b]上具有m阶导数（m阶光滑度），即 P ( x ) P(x) P(x)在节点 x 0 , x 1 , . . . , x n x_0,x_1,…,x_n x0,x1,...,xn处必须满足：
P ( x i ) = f ( x i ) = f i P ′ ( x i ) = f ′ ( x i ) = f i ′ ⋯ P ( m ) ( x i ) = f ( m ) ( x i ) = f i ( m ) , i = 0 , 1 , . . . , n P(x_i)=f(x_i)=f_i\\ P'(x_i)=f'(x_i)=f’_i\\ \cdots\\ P^{(m)}(x_i)=f^{(m)}(x_i)=f^{(m)}_i, i=0,1,…,n P(xi)=f(xi)=fiP′(xi)=f′(xi)=fi′⋯P(m)(xi)=f(m)(xi)=fi(m),i=0,1,...,n
定义：称满足（1）或（2）式的插值问题为Hermite插值，称满足（1）或（2）式的插值多项式 P ( x ) P(x) P(x)为Hermite插值多项式,记为 H k ( x ) H_k(x) Hk(x),k为多项式次数。
三次Hermite插值
三次Hermite插值余项
R 3 ( x ) = f ( 4 ) ( ξ ) 4 ! ( x − x 0 ) 2 ( x − x 1 ) 2 , x 0 ≤ ξ ≤ x 1 R_3(x)=\frac{f^{(4)}(\xi)}{4!}(x-x_0)^2(x-x_1)^2,x_0\le \xi\le x_1 R3(x)=4!f(4)(ξ)(x−x0)2(x−x1)2,x0≤ξ≤x1
当 f ( 4 ) ( x ) 在 [ x 0 , x 1 ] f^{(4)}(x)在[x_0,x_1] f(4)(x)在[x0,x1]上存在时，上述公式成立。
#例题
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