二阶常系数齐次线性微分方程的形式为：
a y ′ ′ + b y ′ + c y = 0 ay” + by’ + cy = 0 ay′′+by′+cy=0
由于是二阶线性微分方程，所以它有两个解，记为 y 1 、 y 2 y_1、y_2 y1、y2，若 y 1 y 2 ≠ C \frac{y_1}{y_2} \neq C y2y1̸=C(即两个解之比不为常数)，则 y 1 、 y 2 y_1、y_2 y1、y2线性无关，那么微分方程的通解为：
y = C 1 y 1 + C 2 y 2 y = C_1y_1 + C_2y_2 y=C1y1+C2y2
我们可以通过微分方程的特征方程来计算微分方程的两个解：
对于微分方程： a y ′ ′ + b y ′ + c y = 0 ay” + by’ + cy = 0 ay′′+by′+cy=0
它的特征方程为： a r 2 + b r + c = 0 ar^2 + br + c = 0 ar2+br+c=0（微分方程的n阶导对于特征方程的n次幂）
写出微分方程的特征方程后即可以用求根公式求出特征方程的解：
r 1 , 2 = − b ± Δ 2 a ， Δ = b 2 − 4 a c r_{1, 2} = \frac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a}， \Delta = b^2 – 4ac r1,2=2a−b±Δ，Δ=b2−4ac
以下分情况讨论：
①当 Δ > 0 \Delta > 0 Δ>0时， r 1 、 r 2 r_1、r_2 r1、r2是两个不相等的实根 r 1 = − b + Δ 2 a ， r 2 = − b − Δ 2 a r_{1} = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}，r_{2} = \frac{-b- \sqrt{\Delta}}{2a} r1=2a−b+Δ，r2=2a−b−Δ
微分方程的通解为： y = C 1 e r 1 x + C 2 e r 2 x y = C_1e^{r_1x} + C_2e^{r_2x} y=C1er1x+C2er2x
②当 Δ = 0 \Delta = 0 Δ=0时， r 1 、 r 2 r_1、r_2 r1、r2是两个相等的实根 r 1 = r 2 = − b 2 a r_1 = r_2 = -\frac{b}{2a} r1=r2=−2ab
微分方程的通解为： y = C 1 e r 1 x + C 2 x e r 2 x y = C_1e^{r_1x} + C_2xe^{r_2x} y=C1er1x+C2xer2x
③当 Δ < 0 \Delta < 0 Δ<0时， r 1 、 r 2 r_1、r_2 r1、r2是一对共轭复根 r 1 = α + β i ， r 2 = α − β i r_1 = \alpha + \beta i， r_2 = \alpha – \beta i r1=α+βi，r2=α−βi其中 α = − b 2 a ， β = − Δ 2 a \alpha = -\frac{b}{2a}， \beta = \frac{\sqrt{-\Delta}}{2a} α=−2ab，β=2a−Δ
微分方程的通解为： y = e a x ( C 1 cos β x + C 2 sin β x ) y = e^{ax}(C_1\cos \beta x + C_2\sin \beta x) y=eax(C1cosβx+C2sinβx)
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