点积和叉积在计算机图形学中，是最为基础且重要的概念，初学者弄清它的概念的应用，是很重要的。最后一节，是为了加强理解记录，如果不看也是可以的，大家选择观看，有兴趣可以去看原视频，结合我的笔记。
前置知识
- 列向量
以下均采用列向量的表示方法，和线性代数书本上的行向量不同，采用列向量表示，则表达为列向量左乘矩阵，只是定义的不同，其他含义没有什么不同。列向量写法如下：
a → = ( x y z ) \overrightarrow{a} = \left( \begin{gathered} \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \end{gathered} \right) a=⎝⎛xyz⎠⎞ - 单位化
将向量的各分量除以向量的模即得单位向量，单位指模为1的向量。 - 向量加减法的几何意义
- 行列式
行列式在数学中，是一个函数，其定义域为det的矩阵A，取值为一个标量，写作det(A)或 | A | 。行列式可以看做是有向面积（二维）或体积（三维）的概念在一般的欧几里得空间中的推广。
点积
点积在数学中，又称数量积（dot product; scalar product），是指接受在实数R上的两个向量并返回一个实数值标量的二元运算。它是欧几里得空间的标准内积。点积的结果是一个数。
a → ⋅ b → = ∣ a ∣ ∣ b ∣ c o s θ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \left| a \right| \left| b \right| cos {\theta} a⋅b=∣a∣∣b∣cosθ
几何意义
a向量在b向量上投影的长度 乘以 b向量的长度（模）就是 点积的结果。
点乘是存在交换律的，所以也等同于：
b向量在a向量上投影的长度 乘以 a向量的长度就是 点积的结果。
在图形学的应用
- 求两个向量的夹角
当 a → \overrightarrow{a} a与 b → \overrightarrow{b} b都是单位向量（单位化），两个向量点积就是 cos θ \cos {\theta} cosθ，在通过 arccos \arccos arccos 就可以求出夹角。 - 求投影
将 a → \overrightarrow{a} a单位化， a → ⋅ b → \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} a⋅b就是 b → \overrightarrow{b} b在 a → \overrightarrow{a} a上的投影长度。
《计算机图形学》书上有这么一个举例，利用投影将向量w分解成两个向量和：
- 比较两个向量的接近程度（方向上）
也就是向量是否两个向量间的夹角大小，在聚光灯的效果计算中，可以根据点积来得到光照效果，如果点积越大，说明夹角越小，则物体离光照的轴线越近，光照越强。
也常会用来判断两向量是否为同方向：
举个例子
叉积
二维向量的叉积是个标量，看起来违背了定义，先假设二维向量得出来的叉积是z，如果把二维向量看作成z轴值恒为0的三维向量，它们的叉积就 ( 0 , 0 , z ) T (0,0,z)^T (0,0,z)T，三维空间被压缩成了二维，叉积就只是一个标量了。
v → ⋅ w → = x v y w − y v x w \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{w} = x_vy_w – y_vx_w v⋅w=xvyw−yvxw
三维向量的叉积的结果是个向量：
v → ⋅ w → = ( y v z w − z v y w z v x w − x v z w x v y w − y v x w ) \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{w} = \left( \begin{gathered} \begin{matrix} y_v z_w – z_v y_w \\ z_vx_w – x_vz_w \\ x_vy_w – y_vx_w \end{matrix} \end{gathered} \right) v⋅w=⎝⎛yvzw−zvywzvxw−xvzwxvyw−yvxw⎠⎞
这个看起来很难记忆，我们随后再讲解。444额方法
几何意义
坐标系的问题
在图形学的应用
- 二维空间判断左右
这个判断又可以衍生出如何判断一条路径存在交叉
2. 三维空间求法向量
法向量在计算图形学的应用很广泛，很多地方都会利用到，比如求已知入射角度 O B → \overrightarrow{OB} OB求一个平面的反射角度 B P → \overrightarrow{BP} BP。取平面上不共线的三个点ABC，求得法线
A B → × A C → = Z → （ 法 线 ） \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{Z} （法线） AB×AC=Z（法线）
B P → = O B → − Z → \overrightarrow{BP} = \overrightarrow{OB} – \overrightarrow{Z} BP=OB−Z
再举个例子
以线性变换去看点乘和叉乘
这部分我是基于B站的一部分的视频总结的，如果觉得作者讲解不够好，可以去看原视频。
点乘
叉乘
先看左边， p → \overrightarrow{p} p与随机变量的点积，其实就随机变量在 p → \overrightarrow{p} p的投影长度，再乘以 p → \overrightarrow{p} p的模。（1）
再看看右边，是一个行列式，表示这三个向量组成的立方体的体积大小。（2）
我们再回顾下，体积的求法，高✖️底面积（u v 组成底面）（3）
高为随机变量在平面垂直方向的投影长度。（4）
由（2）（3）（4）得到右边为 随机变量在平面垂直方向的投影长度，再乘以u v 组成的平面面积（5）
由（1）（5）得到， p → \overrightarrow{p} p为，模长为两向量组成的平面面积，且为这个平面的法线。
这个叉积的几何意义不就是这样的嘛。
字丑的那些图都是我画的，除了一张小手手，请各位见谅，最后感谢我的首席插画师 yc君 画的那种小手手的插图，O(∩_∩)O哈哈~。
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