大数定律
一个随机变量序列 X 1 、 X 2 . . . X n . . . X_{1}、X_{2}…X_{n}… X1、X2...Xn...，a为常数，若对任意正数 ε \varepsilon ε有 lim n → ∞ P { ∣ X n − a ∣ < ε } = 1 \lim_{n \to \infty} P\left \{ |X_{n}-a|<\varepsilon \right \} = 1 limn→∞P{
∣Xn−a∣<ε}=1 。则称序列 X 1 、 X 2 . . . X n . . . X_{1}、X_{2}…X_{n}… X1、X2...Xn...依概率收敛与a, 记作 X n ⟶ a ( n → ∞ ) X_{n}\longrightarrow a(n\to \infty ) Xn⟶a(n→∞)
对任意的 ε \varepsilon ε>0, 当n充分大时，” X n X_{n} Xn与a的偏差大于等于 ε \varepsilon ε”
这一事件发生的概率很小（即概率意义上收敛于0）
伯努利大数定律
设 n A n_{A} nA是n次独立重复实验中事件A发生的次数，p是事件A在每次实验中发生的概率，则对任意正数 ε \varepsilon ε，有 lim n → ∞ { ∣ n A n − p ∣ < ε } = 1 \lim_{n\to \infty}\left\{|\frac{n_{A}}{n} -p|<\varepsilon \right \} = 1 n→∞lim{
∣nnA−p∣<ε}=1，由切比雪夫不等式很容易证明，参见上篇关于切比雪夫文章。
一个事件A在独立重复实验发生的频率 n A n \frac{n_{A}}{n} nnA依概率收敛与事件A发生的概率p,
以严格的数学形式表达了频率的稳定性。在实际应用中，当实验次数n很大时，便可李勇事件A发生的频率去近似代替事件A发生的概率。
辛钦大数定律
一个随机变量序列 X 1 、 X 2 . . . X n . . . X_{1}、X_{2}…X_{n}… X1、X2...Xn...，相互独立，服从同一分布，且具有数学期望 E( X i ) = μ X_{i})=\mu Xi)=μ, i = 1, 2, 3…, 则对任意正数 ε \varepsilon ε, 有 lim n → ∞ P { ∣ 1 n ∑ i = 1 n X i − μ ∣ < ε } = 1 \lim_{n \to \infty}P \left \{ |\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_{i}-\mu|<\varepsilon \right \} = 1 n→∞limP{
∣n1i=1∑nXi−μ∣<ε}=1
中心极限定律
中心极限定理告诉我们，任何独立、 同分布的大量随机变量序列和的均值也近似服从正态分布，只要样本容量够大，样本估计值就趋于正态分布，所以我们可以按 正态分布进行推断
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