泊松过程和维纳过程
关键词：独立增量过程
泊松过程和维纳过程是两个典型的随机过程，属于独立增量过程。
什么是独立增量过程呢？
在互不重叠的区间上，状态的增量是相互独立的
给定一个二阶矩过程： { X ( t ) , t ≥ 0 } \{X(t),t\ge 0\} {
X(t),t≥0}称 X ( t ) − X ( s ) , 0 ≤ s ≤ t X(t)-X(s),0\le s\le t X(t)−X(s),0≤s≤t为随机过程在区间 ( s , t ] (s,t] (s,t]上的增量；
对于任何选中的正整数 n n n和任何选定的 0 ≤ t 0 < t 1 < t 2 < ⋅ ⋅ ⋅ < t n 0\le t_0< t_1
0≤t0<t1<t2<⋅⋅⋅<tn
X ( t 1 ) − X ( t 0 ) , X ( t 2 ) − X ( t 1 ) , ⋅ ⋅ ⋅ , X ( t n ) − X ( t n − 1 ) X(t_1)-X(t_0),X(t_2)-X(t_1),···,X(t_n)-X(t_{n-1}) X(t1)−X(t0),X(t2)−X(t1),⋅⋅⋅,X(tn)−X(tn−1)互相独立，则称 { X ( t ) , t ≥ 0 } \{X(t),t\ge 0\} {
X(t),t≥0}为独立增量过程。
1. 泊松过程
用 { N ( t ) , t ≥ 0 } \{N(t),t\ge 0\} {
N(t),t≥0}表示一个计数过程，如图：
增量 N ( t 0 , t ) N(t_0,t) N(t0,t)表示增量内出现的点数，出现 k k k个点的概率为：
P k ( t 0 , t ) = P { N ( t 0 , t ) = k } , k = 1 , 2 , ⋅ ⋅ ⋅ P_k(t_0,t)=P\{N(t_0,t)=k\}, \ k=1,2,··· Pk(t0,t)=P{
N(t0,t)=k}, k=1,2,⋅⋅⋅
如果 N ( t ) N(t) N(t)满足以下条件：
- 在互不重叠的区间上的增量具有独立性；
- 对于充分小的 Δ t \Delta t Δt:
P 1 { N ( t , t + Δ t ) } = P { N ( t , t + Δ t ) = 1 } = λ Δ t + o ( Δ t ) P_1\{N(t,t+\Delta t)\}=P\{N(t,t+\Delta t)=1\}=\lambda \Delta t+o(\Delta t) P1{
N(t,t+Δt)}=P{
N(t,t+Δt)=1}=λΔt+o(Δt)其中 λ > 0 \lambda> 0 λ>0称为过程 N ( t ) N(t) N(t)的强度，而 o ( Δ t ) o(\Delta t) o(Δt)是 Δ t → 0 \Delta t \rightarrow 0 Δt→0时 Δ t \Delta t Δt的高阶无穷小。 - 对于充分小的 Δ t \Delta t Δt:
∑ j = 2 + ∞ P j { N ( t , t + Δ t ) } = P { N ( t , t + Δ t ) = j } = o ( Δ t ) \sum _{j=2}^{+\infty} P_j\{N(t,t+\Delta t)\}=P\{N(t,t+\Delta t)=j\}=o(\Delta t) j=2∑+∞Pj{
N(t,t+Δt)}=P{
N(t,t+Δt)=j}=o(Δt) - N ( 0 ) = 0 N(0)=0 N(0)=0
条件2,3的意思是：在很小的时间间隔内，最多只有一个质点出现，而出现两个及以上质点的概率几乎为零
将满足此条件的计数过程 { N ( t ) , t ≥ 0 } \{N(t),t\ge 0\} {
N(t),t≥0}称为强度为 λ \lambda λ的泊松过程。
泊松分布的参数 λ \lambda λ是单位时间或单位面积内随机事件的平均发生率。
相应的质点流（或者说质点出现的随机时刻 t 1 , t 2 , ⋅ ⋅ ⋅ t_1,t_2,··· t1,t2,⋅⋅⋅）称为强度为 λ \lambda λ的泊松流。
2. 维纳过程
什么又是维纳过程？
如果一个二阶矩 { W ( t ) , t ≥ 0 } \{W(t),t\ge 0\} {
W(t),t≥0}满足以下条件：
- 具有独立增量
- W ( 0 ) = 0 W(0)=0 W(0)=0
- 对任意的 t > s ≥ 0 t>s\ge 0 t>s≥0，增量：
W ( t ) − W ( s ) ∼ N ( 0 , σ 2 ( t − s ) ) ， σ > 0 W(t)-W(s)\sim N(0,\sigma^2(t-s))，\sigma >0 W(t)−W(s)∼N(0,σ2(t−s))，σ>0此过程称为维特过程
由条件3可知，维纳过程的分布至于时间差有关，所以它是齐次的独立增量过程
参考：
《概率论与数理统计》（浙大）
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