切比雪夫不等式及其证明
本质: 随机变量 X X X偏离 E （ X ) E（X) E（X)越大，则其概率越小。
定理 设随机变量 X X X具有数学期望 E ( X ) = μ E(X)=\mu E(X)=μ,方差 D ( X ) = σ 2 D(X)=\sigma^2 D(X)=σ2,则对 ∀ ϵ ≥ 0 \forall\epsilon\ge0 ∀ϵ≥0,不等式
P { ∣ X − μ ∣ ≥ ϵ } ≤ σ 2 ϵ 2 P \{ | X- \mu | \ge \epsilon \} \le \frac {\sigma^2}{\epsilon^2} P{
∣X−μ∣≥ϵ}≤ϵ2σ2
成立。
证明：
只就连续性随机变量的情况来证明。设 X X X的概率密度函数为 f ( x ) f(x) f(x),则有
P { ∣ X = μ ∣ ≥ ϵ } = ∫ ∣ x − μ ∣ ≥ ϵ f ( x ) d x ≤ ∫ ∣ x − μ ∣ ≥ ϵ f ( x ) d x ≤ ∫ ∣ x − μ ∣ ≥ ϵ ∣ x − μ ∣ 2 ϵ 2 f ( x ) d x ≤ 1 ϵ 2 ∫ − ∞ + ∞ ( x − μ ) 2 f ( x ) d x = σ 2 ϵ 2 P \{ |X=\mu|\ge\epsilon \} = \int _{|x-\mu|\ge\epsilon} f(x)dx \\ \le \int _{|x-\mu|\ge\epsilon}f(x)dx \\ \le \int _{|x-\mu|\ge\epsilon} \frac {|x-\mu|^2} {\epsilon^2}f(x)dx \\ \le \frac {1} {\epsilon^2} \int _{- \infty} ^{+ \infty} (x- \mu)^2f(x)dx \\ =\frac {\sigma^2} {\epsilon^2} P{
∣X=μ∣≥ϵ}=∫∣x−μ∣≥ϵf(x)dx≤∫∣x−μ∣≥ϵf(x)dx≤∫∣x−μ∣≥ϵϵ2∣x−μ∣2f(x)dx≤ϵ21∫−∞+∞(x−μ)2f(x)dx=ϵ2σ2
另一种形式：
P { ∣ X − μ ∣ < ϵ } ≥ 1 − σ 2 ϵ 2 P\{ |X-\mu| <\epsilon\} \ge1-\frac{\sigma^2} {\epsilon^2} P{
∣X−μ∣<ϵ}≥1−ϵ2σ2
意义： 随机变量 分 布 未 知 \color{red}{分布未知} 分布未知， 仅 知 E ( X ) 和 D ( X ) \color{red}{仅知E(X)和D(X)} 仅知E(X)和D(X)情况下估计概率 P { ∣ X − E ( X ) ∣ < ϵ } P\{ |X-E(X)|<\epsilon\} P{
∣X−E(X)∣<ϵ}的界限
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