一、数理逻辑
逻辑基本律：同一律(A=A)、矛盾律(A且!A为假)、排中律(A或!A为真)
(一)基本概念
1.命题逻辑基本概念：命题常项，命题变项，联结词，命题公式
（1）悖论：非命题
（2）联结词完备集：{非，或，与}，{与非^}，{或非}
（3）命题公式的表达：真值表、析取合取范式
（4）命题公式的可满足性问题：消解法
2.一阶逻辑基本概念：个体词（常项，变项，约束，自由。域），谓词（常项，变项），量词（辖域），一阶语言，谓词公式，解释
（1）个体词：客体
（2）谓词：客体的性质，客体之间的关系
（3）量词：任意，存在
（4）谓词公式的表达：前束范式
3.命题逻辑和一阶逻辑的关系
封闭的谓词公式在任何解释下都变成命题常项。
非封闭的谓词公式在某些解释下可以变成命题常项。
（二）等值式/算律
1.共有的等值式
（1）双重否定律、结合律、交换律、幂等律
（2）分配律、吸收律、德摩根律
（3）格的性质：零律、一律
（4）布尔代数性质：排中律，矛盾律
（5）蕴含式，等价式，逆否命题，等价否定，归谬论
2.一阶逻辑特有的等值式
（1）消去量词2
（2）量词否定2
（3）量词辖域收缩、扩张8
（4）量词分配2
3.一阶逻辑的置换规则
（1）换谓词名（置换）
（2）换约束个体名（换名）
（3）换自由个体名（代替）
（三）形式系统
1.自然推理系统
（1）命题自然推理系统
推理规则：
前提引入、中间结论引入、置换
假言推理、附加、化简、拒取、假言三段论、析取三段论、构造性二难、破坏性二难、合取引入
（2）一阶逻辑自然推理系统
特有的推理规则：任意+、任意-，存在+，存在-
2.公理推理系统
组成：符号集、公式集（符号使用）、公理模式集、推理规则集
欧式几何数学体系（半形式化）
弗雷格公理系统(Frege’s system)，仅用非、推 符号。
卢卡西维茨公理系统(Lukasiewicz)，仅用 非 、 推 符号。
罗素公理系统(Russell-Bernays)，仅用 非 、或 、推 符号。
亨廷顿公理系统(Huntington axiomatic system)。
ZFC公理系统。
二、集合论
1.基本概念：
（1）集合（相异、无序）、隶属、包含、子集、幂集、空集、全集
（2）交，并，广义并，广义交、补，相对补（差），对称差
（3）集合的基数、Venn图、容斥原理
（4）集合恒等式
2.关系
表达：集合、矩阵、关系图
性质：自反、对称、传递、反自反、反对称、闭包
等价关系：饼状图，划分，商集
偏序关系：哈斯图，最、极，上、下界
3.映射/函数
定义域、值域、像、完全原像、单、满、双、复合、逆、
集合计数：势、康托定理
三、代数系统
运算：映射到自身的映射
六律四元（结合、交换、幂等、消去；分配、吸收；单位元、逆元、零元，补元）
代数系统：
<集合，一元或二元运算>
类型、种（积代数，子代数）、态、结构
群 定义：封结幺逆
直观：对称（二维图形，多项式）：保持运算的一一变换的全体所构成的群
子群 判定 正规子群（内自同构不变） 中心（自同构不变）
商群
<合同划分，[a]x[b]=[ab]>
同态 核，像 同态定理（单：甲是乙的一个子群，满：甲的一个商群是乙，非单非满：甲的一个商群是乙的一个子群，双：甲就是乙）
有限群 拉格朗日定理
生成元集
环 加法交换群、乘法半群，乘关于加分配
<矩阵，+，*>
域 加法交换群、乘法交换群（零元可以没有逆元，且无零因子）
<有理数，+，*>
格 结合律、交换律、吸收率
<偏序集，交，并>
布尔代数 有补（任意元素存在交为0，并为1的补元）、分配（不含五角格、钻石格）格
<幂集，交，并>
四、图论
1.分类：无向图或有向图，标定图或非标定图
2.基本概念：点、边、邻域（前驱、后继）、关联边、端点、相邻边、割、桥
3.进阶概念：度，握手定理 度数列，HAVEL定理：可图化、可简单图化
3.1高级概念：k-core，k-truss，k-clique，k-club，p-cohesion，k-edge/vertex connected，k-shell
4.表示：集合，矩阵（关联矩阵、邻接矩阵、可达矩阵）
4.图的操作：{增加、删除}X{点、边} 收缩边 求补 并、交、差、环和
5.连通性
（1）基本概念：通路、回路、简单通路、简单回路、初级通路、初级回路
（2）连通程度
无向图：点连通、边连通、最小度
有向图：强连通图、单向连通图、弱连通图
最短路径/短程线：Dijstrar、Bellman-Floyd
关键路径：最早、最晚、缓冲时间
r-正则图
（3）图的遍历
深搜、广搜
6.特殊的图
（1）二部图<=>无奇圈 证明
（2）欧拉图和半欧拉图
构造方法：Fleury（不走桥）、边不重的圈的并
充要条件：有向图、无向图
（3）哈密顿图
充分条件：任意不相邻顶点度和大于等于N-1
必要条件：去除任意非空点集后连通分支小于等于被去除点集的基数
递归充要条件：若两个不相邻顶点度和大于等于N，则G和G+e要么都是哈密顿图要么都不是
（4）树
最小生成树（Kruskal，Prime，破圈法(管梅谷法)）
哈夫曼树
（5）平面图
欧拉公式
充要条件：不含与K5同胚，也不含与K3,3同胚的子图。
7.一种重要思想
扩大路径法。思想很简单，但需要彻底掌握十道不同类型的习题或者定理证明应用才可彻底掌握该思想。
五、初等数论
1、基础知识
欧几里得原理
整除：商和余数定理
素数、合数：充要条件 判定
算数基本定理（因子分解定理）：素数个数无限
最大公约数gcd、最小公倍数lcm：gcd*lcm=mn，列因子、列素因子分解、欧几里得算法（辗转相除法）
费马小定理证明、a^n计算、ab mod z=[(a mod z)(b mod z)] mod z证明、a^n mod z计算、邮资问题
2、均匀随机数产生、RSA密钥是这一块的巅峰应用（会了理解透了RSA就基本会了初等数论）
六、组合数学
主要是如何数数，递归数数之类的，十分基础而且重要
七、数学机械化
中国科学院数学机械化重点实验室 (KLMM)吴文俊
积分计算器：用 Wolfram|Alpha 求积分WolframeAlpha，Mathematic等
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