最小生成树详解(模板 + 例题)

作为一个伪ACMer,先来首广为人知的打油诗:
模拟只会猜题意，贪心只能过样例，数学上来先打表，规律一般是DP，组合数学碰运气，计算几何瞎暴力，图论一顿套模板，数论只会GCD,递归递推伤不起，搜索茫然TLE，分治做得像枚举，暴力枚举数第一，数据结构干瞪眼，怒刷水题找信心。

1、什么是树

如果一个无向连通图不包含回路(连通图中不存在环),那么就是一个树。

2、最小生成树

一个图中可能存在多条相连的边,我们一定可以从一个图中挑出一些边生成一棵树。这仅仅是生成一棵树,还未满足最小,当图中每条边都存在权重时,这时候我们从图中生成一棵树(n – 1 条边)时,生成这棵树的总代价就是每条边的权重相加之和。

一个有N个点的图，边一定是大于等于N-1条的。图的最小生成树，就是在这些边中选择N-1条出来，连接所有的N个点。这N-1条边的边权之和是所有方案中最小的。

3、最小生成树的应用

要在n个城市之间铺设光缆，主要目标是要使这 n 个城市的任意两个之间都可以通信，但铺设光缆的费用很高，且各个城市之间铺设光缆的费用不同，因此另一个目标是要使铺设光缆的总费用最低。这就需要找到带权的最小生成树。

4、实现最小生成树的两种算法

4.1 prim (普里姆算法)

算法分析:

Prim算法每次循环都将一个蓝点u变为白点，并且此蓝点u与白点相连的最小边权min[u]还是当前所有蓝点中最小的。这样相当于向生成树中添加了n-1次最小的边，最后得到的一定是最小生成树。

我们通过对下图最小生成树的求解模拟来理解上面的思想。蓝点和虚线代表未进入最小生成树的点、边；白点和实线代表已进入最小生成树的点、边。

初始时所有点都是蓝点，min[1]=0,min[2、3、4、5]=∞。权值之和MST=0。

第一次循环自然是找到min[1]=0最小的蓝点1。将1变为白点，接着枚举与1相连的所有蓝点2、3、4，修改它们与白点相连的最小边权。

第三次循环是找到min[3]最小的蓝点3。将3变为白点，接着枚举与3相连的所有蓝点4、5，修改它们与白点相连的最小边权。

最后权值之和MST=6。这n次循环，每次循环我们都能让一个新的点加入生成树，n次循环就能把所有点囊括到其中；每次循环我们都能让一条新的边加入生成树，n-1次循环就能生成一棵含有n个点的树；每次循环我们都取一条最小的边加入生成树，n-1次循环结束后，我们得到的就是一棵最小的生成树。这就是Prim采取贪心法生成一棵最小生成树的原理。算法时间复杂度：O (N2)。

精彩例题:

题目链接:https://www.acwing.com/problem/content/860/

Code:

 // prim 算法求最小生成树  #include  
     #include  
     #include  
     #include  
     #include  
     #define INF 0x3f3f3f3f using namespace std; const int maxn = 505; int a[maxn][maxn]; int vis[maxn],dist[maxn]; int n,m; int u,v,w; long long sum = 0; int prim(int pos) { 
    dist[pos] = 0; // 一共有 n 个点,就需要 遍历 n 次,每次寻找一个权值最小的点,记录其下标 for(int i = 1; i <= n; i ++) { 
    int cur = -1; for(int j = 1; j <= n; j ++) { 
    if(!vis[j] && (cur == -1 || dist[j] < dist[cur])) { 
    cur = j; } } // 这里需要提前终止 if(dist[cur] >= INF) return INF; sum += dist[cur]; vis[cur] = 1; for(int k = 1; k <= n; k ++) { 
    // 只更新还没有找到的最小权值 if(!vis[k]) dist[k] = min(dist[k],a[cur][k]); } } return sum; } int main(void) { 
    scanf("%d%d",&n,&m); memset(a,0x3f,sizeof(a)); memset(dist,0x3f,sizeof(dist)); for(int i = 1; i <= m; i ++) { 
    scanf("%d%d%d",&u,&v,&w); a[u][v] = min(a[u][v],w); a[v][u] = min(a[v][u],w); } int value = prim(1); if(value >= INF) puts("impossible"); else printf("%lld\n",sum); return 0; } 

4.2 kruskal (克鲁斯卡尔算法)

Kruskal（克鲁斯卡尔）算法是一种巧妙利用并查集来求最小生成树的算法。

算法描述:

在描述 kruskal 算法时先了解一下连通块的概念, 我们将无向图中相互连通的一些点称为处于同一个连通块中。

从上图我们可以清晰的看到,有 3 个连通块(1,2),(3),(4,5,6)。

Kruskal算法将一个连通块当做一个集合。Kruskal首先将所有的边按从小到大顺序排序（一般使用快排），并认为每一个点都是孤立的，分属于n个独立的集合。然后按顺序枚举每一条边。如果这条边连接着两个不同的集合，那么就把这条边加入最小生成树，这两个不同的集合就合并成了一个集合；如果这条边连接的两个点属于同一集合，就跳过。直到选取了n-1条边为止。

Kruskal（克鲁斯卡尔）算法开始时，认为每一个点都是孤立的，分属于n个独立的集合。

5个集合{ {1}，{2}，{3}，{4}，{5} }

通过上面的模拟能够看到，Kruskal算法每次都选择一条最小的，且能合并两个不同集合的边，一张n个点的图总共选取n-1次边。因为每次我们选的都是最小的边，所以最后的生成树一定是最小生成树。每次我们选的边都能够合并两个集合，最后n个点一定会合并成一个集合。通过这样的贪心策略，Kruskal算法就能得到一棵有n-1条边，连接着n个点的最小生成树。

精彩例题:

题目链接:https://www.acwing.com/problem/content/861/

Code:

 // Kruskal 算法求最小生成树  #include  
     #include  
     #include  
     #include  
     #include  
     using namespace std; const int maxn = 2e5 + 10; struct node { 
    int x,y,z; }edge[maxn]; bool cmp(node a,node b) { 
    return a.z < b.z; } int fa[maxn]; int n,m; int u,v,w; long long sum; int get(int x) { 
    return x == fa[x] ? x : fa[x] = get(fa[x]); } int main(void) { 
    scanf("%d%d",&n,&m); for(int i = 1; i <= m; i ++) { 
    scanf("%d%d%d",&edge[i].x,&edge[i].y,&edge[i].z); } for(int i = 0; i <= n; i ++) { 
    fa[i] = i; } sort(edge + 1,edge + 1 + m,cmp); // 每次加入一条最短的边 for(int i = 1; i <= m; i ++) { 
    int x = get(edge[i].x); int y = get(edge[i].y); if(x == y) continue; fa[y] = x; sum += edge[i].z; } int ans = 0; for(int i = 1; i <= n; i ++) { 
    if(i == fa[i]) ans ++; } if(ans > 1) puts("impossible"); else printf("%lld\n",sum); return 0; } 

5、总结

参考链接:https://www.cnblogs.com/SeanOcean/p/10975694.html