二阶常系数非齐次线性微分方程的形式为： a y ′ ′ + b y ′ + c y = f ( x ) ay” + by’ + cy = f(x) ay′′+by′+cy=f(x)
二阶常系数齐次线性微分方程通解的解法：二阶常系数齐次线性微分方程的通解
下面只需要解出微分方程的特解即可
对应微分方程： a y ′ ′ + b y ′ + c y = f ( x ) ay” + by’ + cy = f(x) ay′′+by′+cy=f(x)右式 f ( x ) f(x) f(x)有两种形式：
① f ( x ) = e λ x P m ( x ) f(x) = e^{\lambda x}P_m(x) f(x)=eλxPm(x)型
此时微分方程对应的特解为： y ∗ = x k R m ( x ) e λ x y^* = x^kR_m(x)e^{\lambda x} y∗=xkRm(x)eλx
其中：
- R m ( x ) R_m(x) Rm(x)是于 p m ( x ) p_m(x) pm(x)同次( m m m次)的多项式(例如： b 1 x 2 + b 1 x + b 2 b_1x^2 +b_1x + b_2 b1x2+b1x+b2)
- k k k按 λ \lambda λ不是特征方程的根、是单根、是重根依次取0、1、2
② f ( x ) = e λ x [ P l ( x ) cos ω x + Q n ( x ) sin ω x ] f(x) = e^{\lambda x}[P_l(x)\cos \omega x + Q_n(x)\sin \omega x] f(x)=eλx[Pl(x)cosωx+Qn(x)sinωx]型
此时微分方程对应的特解为： y ∗ = x k e λ x [ R m ( 1 ) cos ω x + R m ( 2 ) sin ω x ] y^* = x^ke^{\lambda x}[R_m^{(1)}\cos \omega x + R_m^{(2)}\sin \omega x] y∗=xkeλx[Rm(1)cosωx+Rm(2)sinωx]
其中：
- R m ( 1 ) 和 R m ( 2 ) R_m^{(1)}和R_m^{(2)} Rm(1)和Rm(2)是同型 m m m次多项式， m = max ( l , n ) m = \max{(l ,n)} m=max(l,n)(即m = l、n中的最大值；所谓同型即例如: R m ( 1 ) = a x + b , R m ( 2 ) = c x + d R_m^{(1)} = ax + b, R_m^{(2)} = cx + d Rm(1)=ax+b,Rm(2)=cx+d)
- k k k按 λ + ω i \lambda + \omega i λ+ωi 不是特征方程的根、是单根依次取0、1
得到这个不完全的特解后根据需要求出其不同阶的导数然后带入微分方程，即可解出特解中的系数，到这里，就得到了微分方程的完整特解，于齐次通解相加即的微分方程的通解。
微分方程的右式 f ( x ) = 2 e x f(x) = 2e^x f(x)=2ex满足 f ( x ) = e λ x P m ( x ) f(x) = e^{\lambda x}P_m(x) f(x)=eλxPm(x)型，且 λ = 1 , m = 0 \lambda = 1, m = 0 λ=1,m=0，
所以，设特解为： y ∗ = a e x y^* = ae^x y∗=aex
所以 y ∗ = a e x y^* = ae^x y∗=aex、 y ∗ ′ = a e x y^{*’} = ae^x y∗′=aex、 y ∗ ′ ′ = a e x y^{*”} = ae^x y∗′′=aex
带入微分方程左式得： 2 a e x + a e x − a e x = 2 e x 2ae^x + ae^x – ae^x = 2e^x 2aex+aex−aex=2ex
得： a = 1 a = 1 a=1
所以特解为： y ∗ = e x y^* = e^x y∗=ex
微分方程的通解为： y = C 1 e − x + C 2 e 1 2 x + e x y = C_1e^{-x} + C_2e^{\frac{1}{2}x} + e^x y=C1e−x+C2e21x+ex
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