图的广度优先搜索（BFS）和深度优先搜索（DFS）算法解析

BFS和DFS算法解析

【算法入门】

2018/6/2

1.前言

和树的遍历类似，图的遍历也是从图中某点出发，然后按照某种方法对图中所有顶点进行访问，且仅访问一次。

但是图的遍历相对树而言要更为复杂。因为图中的任意顶点都可能与其他顶点相邻，所以在图的遍历中必须记录已被访问的顶点，避免重复访问。

根据搜索路径的不同，我们可以将遍历图的方法分为两种：广度优先搜索和深度优先搜索。

2.图的基本概念

2.1.无向图和无向图

顶点对(u，v)是无序的，即（u，v）和（v，u）是同一条边。常用一对圆括号表示。

图2-1-1 无向图示例

顶点对

是有序的，它是指从顶点u到顶点 v的一条有向边。其中u是有向边的始点，v是有向边的终点。常用一对尖括号表示。

图2-1-2 有向图示例

2.2.权和网

图的每条边上可能存在具有某种含义的数值，称该数值为该边上的权。而这种带权的图被称为网。

2.3.连通图与非连通图

连通图：在无向图G中，从顶点v到顶点v’有路径，则称v和v’是联通的。若图中任意两顶点v、v’∈V，v和v’之间均联通，则称G是连通图。上述两图均为连通图。

非连通图：若无向图G中，存在v和v’之间不连通，则称G是非连通图。

图2-3 非连通图示例

3.广度优先搜索

3.1.算法的基本思路

广度优先搜索类似于树的层次遍历过程。它需要借助一个队列来实现。如图2-1-1所示，要想遍历从v0到v6的每一个顶点，我们可以设v0为第一层，v1、v2、v3为第二层，v4、v5为第三层，v6为第四层，再逐个遍历每一层的每个顶点。

具体过程如下：

  1.准备工作：创建一个visited数组，用来记录已被访问过的顶点；创建一个队列，用来存放每一层的顶点；初始化图G。

  2.从图中的v0开始访问，将的visited[v0]数组的值设置为true，同时将v0入队。

3.只要队列不空，则重复如下操作：

    (1)队头顶点u出队。

    (2)依次检查u的所有邻接顶点w，若visited[w]的值为false，则访问w，并将visited[w]置为true，同时将w入队。

3.2.算法的实现过程

白色表示未被访问，灰色表示即将访问，黑色表示已访问。

visited数组：0表示未访问，1表示以访问。

队列：队头出元素，队尾进元素。

1.初始时全部顶点均未被访问，visited数组初始化为0，队列中没有元素。

图3-2-1

图3-2-2

图3-2-3

4.将v0出队，访问v0的邻接点v2。判断visited[2]，因为visited[2]的值为0，访问v2。

图3-2-4

5.将visited[2]置为1，并将v2入队。

图3-2-5

6.访问v0邻接点v1。判断visited[1],因为visited[1]的值为0，访问v1。

图3-2-6

7.将visited[1]置为0，并将v1入队。

图3-2-7

8.判断visited[3],因为它的值为0，访问v3。将visited[3]置为0，并将v3入队。

图3-2-8

9.v0的全部邻接点均已被访问完毕。将队头元素v2出队，开始访问v2的所有邻接点。

开始访问v2邻接点v0，判断visited[0]，因为其值为1，不进行访问。

继续访问v2邻接点v4，判断visited[4]，因为其值为0，访问v4，如下图：

图3-2-9

10.将visited[4]置为1，并将v4入队。

图3-2-10

11.v2的全部邻接点均已被访问完毕。将队头元素v1出队，开始访问v1的所有邻接点。

开始访问v1邻接点v0，因为visited[0]值为1，不进行访问。

继续访问v1邻接点v4，因为visited[4]的值为1，不进行访问。

继续访问v1邻接点v5，因为visited[5]值为0，访问v5，如下图：

图3-2-11

12.将visited[5]置为1，并将v5入队。

图3-2-12

13.v1的全部邻接点均已被访问完毕，将队头元素v3出队，开始访问v3的所有邻接点。

开始访问v3邻接点v0，因为visited[0]值为1，不进行访问。

继续访问v3邻接点v5，因为visited[5]值为1，不进行访问。

图3-2-13

14.v3的全部邻接点均已被访问完毕，将队头元素v4出队，开始访问v4的所有邻接点。

开始访问v4的邻接点v2，因为visited[2]的值为1，不进行访问。

继续访问v4的邻接点v6，因为visited[6]的值为0，访问v6，如下图：

图3-2-14

15.将visited[6]值为1，并将v6入队。

图3-2-15

16.v4的全部邻接点均已被访问完毕，将队头元素v5出队，开始访问v5的所有邻接点。

开始访问v5邻接点v3，因为visited[3]的值为1，不进行访问。

继续访问v5邻接点v6，因为visited[6]的值为1，不进行访问。

图3-2-16

17.v5的全部邻接点均已被访问完毕，将队头元素v6出队，开始访问v6的所有邻接点。

开始访问v6邻接点v4，因为visited[4]的值为1，不进行访问。

继续访问v6邻接点v5，因为visited[5]的值文1，不进行访问。

图3-2-17

18.队列为空，退出循环，全部顶点均访问完毕。

3.3具体代码的实现

3.3.1用邻接矩阵表示图的广度优先搜索

/*一些量的定义*/ queue 
  
    q; //定义一个队列，使用库函数queue #define MVNum 100 //表示最大顶点个数 bool visited[MVNum];         //定义一个visited数组，记录已被访问的顶点 
  

/*邻接矩阵存储表示*/ typedef struct AMGraph { char vexs[MVNum];            //顶点表 int arcs[MVNum][MVNum];      //邻接矩阵 int vexnum, arcnum;          //当前的顶点数和边数 }AMGraph;

/*找到顶点v的对应下标*/ int LocateVex(AMGraph &G, char v) { int i; for (i = 0; i < G.vexnum; i++) if (G.vexs[i] == v) return i; }

/*采用邻接矩阵表示法，创建无向图G*/ int CreateUDG_1(AMGraph &G) { int i, j, k; char v1, v2; scanf("%d%d", &G.vexnum, &G.arcnum);                 //输入总顶点数，总边数 getchar();             //获取'\n’，防止其对之后的字符输入造成影响 for (i = 0; i < G.vexnum; i++) scanf("%c", &G.vexs[i]); //依次输入点的信息 for (i = 0; i < G.vexnum; i++) for (j = 0; j < G.vexnum; j++) G.arcs[i][j] = 0; //初始化邻接矩阵边，0表示顶点i和j之间无边 for (k = 0; k < G.arcnum; k++) { getchar(); scanf("%c%c", &v1, &v2); //输入一条边依附的顶点 i = LocateVex(G, v1); //找到顶点i的下标 j = LocateVex(G, v2); //找到顶点j的下标 G.arcs[i][j] = G.arcs[j][i] = 1;         //1表示顶点i和j之间有边，无向图不区分方向 } return 1; }

/*采用邻接矩阵表示图的广度优先遍历*/ void BFS_AM(AMGraph &G,char v0) { /*从v0元素开始访问图*/ int u,i,v,w; v = LocateVex(G,v0);                            //找到v0对应的下标 printf("%c ", v0);                              //打印v0 visited[v] = 1;                         //顶点v0已被访问 q.push(v0);                 //将v0入队 while (!q.empty()) { u = q.front(); //将队头元素u出队，开始访问u的所有邻接点 v = LocateVex(G, u); //得到顶点u的对应下标 q.pop(); //将顶点u出队 for (i = 0; i < G.vexnum; i++) { w = G.vexs[i]; if (G.arcs[v][i] && !visited[i])//顶点u和w间有边，且顶点w未被访问 { printf("%c ", w); //打印顶点w q.push(w); //将顶点w入队 visited[i] = 1; //顶点w已被访问 } } } } 

3.3.2用邻接表表示图的广度优先搜索

/*找到顶点对应的下标*/ int LocateVex(ALGraph &G, char v) { int i; for (i = 0; i < G.vexnum; i++) if (v == G.vertices[i].data) return i; }

/*邻接表存储表示*/ typedef struct ArcNode         //边结点 { int adjvex; //该边所指向的顶点的位置 ArcNode *nextarc; //指向下一条边的指针 int info; //和边相关的信息，如权值 }ArcNode; typedef struct VexNode //表头结点 { char data; ArcNode *firstarc; //指向第一条依附该顶点的边的指针 }VexNode,AdjList[MVNum]; //AbjList表示一个表头结点表 typedef struct ALGraph { AdjList vertices; int vexnum, arcnum; }ALGraph;

/*采用邻接表表示法，创建无向图G*/ int CreateUDG_2(ALGraph &G) { int i, j, k; char v1, v2; scanf("%d%d", &G.vexnum, &G.arcnum);         //输入总顶点数，总边数 getchar(); for (i = 0; i < G.vexnum; i++) //输入各顶点，构造表头结点表 { scanf("%c", &G.vertices[i].data); //输入顶点值 G.vertices[i].firstarc = NULL; //初始化每个表头结点的指针域为NULL } for (k = 0; k < G.arcnum; k++) //输入各边，构造邻接表 { getchar(); scanf("%c%c", &v1, &v2); //输入一条边依附的两个顶点 i = LocateVex(G, v1); //找到顶点i的下标 j = LocateVex(G, v2); //找到顶点j的下标 ArcNode *p1 = new ArcNode; //创建一个边结点*p1 p1->adjvex = j; //其邻接点域为j p1->nextarc = G.vertices[i].firstarc; G.vertices[i].firstarc = p1; // 将新结点*p插入到顶点v1的边表头部 ArcNode *p2 = new ArcNode; //生成另一个对称的新的表结点*p2 p2->adjvex = i; p2->nextarc = G.vertices[j].firstarc; G.vertices[j].firstarc = p1; } return 1; }

/*采用邻接表表示图的广度优先遍历*/ void BFS_AL(ALGraph &G, char v0) { int u,w,v; ArcNode *p; printf("%c ", v0);                                         //打印顶点v0 v = LocateVex(G, v0);                                                 //找到v0对应的下标 visited[v] = 1;                                         //顶点v0已被访问 q.push(v0);                                 //将顶点v0入队 while (!q.empty()) { u = q.front();                                         //将顶点元素u出队，开始访问u的所有邻接点 v = LocateVex(G, u);                                            //得到顶点u的对应下标 q.pop(); //将顶点u出队 for (p = G.vertices[v].firstarc; p; p = p->nextarc) //遍历顶点u的邻接点 { w = p->adjvex; if (!visited[w]) //顶点p未被访问 { printf("%c ", G.vertices[w].data);         //打印顶点p visited[w] = 1;         //顶点p已被访问 q.push(G.vertices[w].data); //将顶点p入队 } } } }

3.4.非联通图的广度优先遍历的实现方法

/*广度优先搜索非连通图*/ void BFSTraverse(AMGraph G) { int v; for (v = 0; v < G.vexnum; v++) visited[v] = 0; //将visited数组初始化 for (v = 0; v < G.vexnum; v++) if (!visited[v]) BFS_AM(G, G.vexs[v]); //对尚未访问的顶点调用BFS }

4.深度优先搜索

4.1算法的基本思路

深度优先搜索类似于树的先序遍历，具体过程如下：

准备工作：创建一个visited数组，用于记录所有被访问过的顶点。

1.从图中v0出发，访问v0。

2.找出v0的第一个未被访问的邻接点，访问该顶点。以该顶点为新顶点，重复此步骤，直至刚访问过的顶点没有未被访问的邻接点为止。

3.返回前一个访问过的仍有未被访问邻接点的顶点，继续访问该顶点的下一个未被访问领接点。

4.重复2,3步骤，直至所有顶点均被访问，搜索结束。

4.2算法的实现过程

1.初始时所有顶点均未被访问，visited数组为空。

图4-2-1

2.即将访问v0。

图4-2-2

3.访问v0，并将visited[0]的值置为1。

图4-2-3

4.访问v0的邻接点v2，判断visited[2]，因其值为0，访问v2。

图4-2-4

5.将visited[2]置为1。

图4-2-5

6.访问v2的邻接点v0，判断visited[0]，其值为1，不访问。

继续访问v2的邻接点v4，判断visited[4]，其值为0，访问v4。

图4-2-6

7.将visited[4]置为1。

图4-2-7

8.访问v4的邻接点v1，判断visited[1]，其值为0，访问v1。

图4-2-8

9.将visited[1]置为1。

图4-2-9

10.访问v1的邻接点v0，判断visited[0]，其值为1，不访问。

继续访问v1的邻接点v4，判断visited[4]，其值为1，不访问。

继续访问v1的邻接点v5，判读visited[5]，其值为0，访问v5。

图4-2-10

11.将visited[5]置为1。

图4-2-11

12.访问v5的邻接点v1，判断visited[1]，其值为1，不访问。

继续访问v5的邻接点v3，判断visited[3]，其值为0，访问v3。

图4-2-12

13.将visited[1]置为1。

图4-2-13

14.访问v3的邻接点v0，判断visited[0]，其值为1，不访问。

继续访问v3的邻接点v5，判断visited[5]，其值为1，不访问。

v3所有邻接点均已被访问，回溯到其上一个顶点v5，遍历v5所有邻接点。

访问v5的邻接点v6，判断visited[6]，其值为0，访问v6。

图4-2-14

15.将visited[6]置为1。

图4-2-15

16.访问v6的邻接点v4，判断visited[4]，其值为1，不访问。

访问v6的邻接点v5，判断visited[5]，其值为1，不访问。

图4-2-16

17.v5所有邻接点均已被访问，回溯到其上一个顶点v1。

v1所有邻接点均已被访问，回溯到其上一个顶点v4，遍历v4剩余邻接点v6。

图4-2-17

4.3具体代码实现

4.3.1用邻接矩阵表示图的深度优先搜索

邻接矩阵的创建在上述已描述过，这里不再赘述

void DFS_AM(AMGraph &G, int v) { int w; printf("%c ", G.vexs[v]); visited[v] = 1; for (w = 0; w < G.vexnum; w++) if (G.arcs[v][w]&&!visited[w]) //递归调用 DFS_AM(G,w); }

4.3.2用邻接表表示图的深度优先搜素

邻接表的创建在上述已描述过，这里不再赘述。

void DFS_AL(ALGraph &G, int v) { int w; printf("%c ", G.vertices[v].data); visited[v] = 1; ArcNode *p = new ArcNode; p = G.vertices[v].firstarc; while (p) { w = p->adjvex; if (!visited[w]) DFS_AL(G, w); p = p->nextarc; } }