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指数函数的性质
先来复习一下中学的课程：
指数函数的导数
对f(x) = ax求导：
ax右侧的那个极限似乎没有办法继续简化了，如果这个极限看作关于a的函数（之所以将极限看作关于a的函数，是因为在这个极限中，a是未知的，Δx是已知的）：
函数在某一点导数的几何意义是该点处切线的斜率，所以M(a)也就是ax在x=0处切线的斜率。
如果y=2x，则，我们仍不知道M(a)是什么，暂且作为悬念。
e
我们知道e表示自然对数的底数，暂且不管自然对数到底是什么，只知道它确实存在。e有两个性质：
1) (ex)’ = ex
2) ex在x=0的导数是1
当我们想要继续对f(kx)=2kx，k∈R求导时，根据上节的公式（2），，这并没有解决问题，看起来更复杂了。如果已知函数某一点的导数，就能求得该函数压缩或伸展后在该点的导数，2kx仅仅是2x的压缩或伸展，在x=0处的斜率也不断向左或向右倾斜：
当k=1/M(2)时，(bx)在x=0处的导数是1，b = e，虽然暂时不知道它的值，但已经知道它确实存在。
对数的性质
自然对数的导数
自然对数是以e为底的对数，简写做ln
y=lne和y=ex互为反函数：
lnx求导
对于函数y = lnx，其反函数是ey = x，根据反函数微分法：
M(a)的真相
已经做了足够多的准备工作，是时候揭开M(a)的真相了。
在对指数函数y=ax求导时，我们得出(ax)’=axM(a)。根据对数的性质，elna = a，原函数需要使用对数进行一次变换：
根据链式求导法则，
所以，M(a) = ln(a)
指数函数的求导公式
由于已经知道了M(a)，所以我们终于可以完成对指数函数的求导了。
对数函数求导公式：(ax)’ = axlna
示例：
(10x)’ = 10xln10， (2x)’ = 2x ln2
对数微分法
自然对数求导公式：(lnu)’ = u’/u，u是x的函数
根据该公式，(lnx)’ = x’/x = 1/x
示例1：(lnx)’ = x’/x = 1/x
示例2：(lnax)’ = (ax)’/ ax = (ax lna) / ax = lna
示例3：(xx)’
这个稍微复杂点，不能直接用指数函数求导法则，因为指数也是x，此时需要使用对数做一次转换。
示例4：(xn)’
根据幂函数求导公式，(xn)’ = nxn-1，现在使用对数转换对其求解：
也可以使用对数微分法求解：
示例5：(lnsecx)’
(lnsecx)’ = (secx)’/secx = secxtanx/secx = tanx
e的真相
先来看一个极限：
这下麻烦了，似乎没有办法直接求解。然而数学的魅力就在于化繁为简，化不可能为可能。暂且抛开lim，并使用对数转换(1+1/x)x ：
由此得出结论：
总结
- (e^x)’ = e^x，e^x在e^x=0处的导数是1
- 指数函数的导数 (ax)’=axlna
- (lnx)’ = 1/x
- 对数微分法，(lnu)’ = u’/u
-
作者：我是8位的
出处：http://www.cnblogs.com/bigmonkey
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