理想低通滤波器在频率域的形状为矩形，那么其傅立叶逆变换在时间域为sinc函数
图像处理中，对一幅图像进行滤波处理，若选用的频域滤波器具有陡峭的变化，则会使滤波图像产生“振铃”，所谓“振铃”，就是指输出图像的灰度剧烈变化处产生的震荡，就好像钟被敲击后产生的空气震荡。如下图：
振铃现象产生的本质原因是:
对于辛格函数sinc而言，经过傅里叶变换之后的函数形式为窗函数（理想低通滤波器）形式，用图像表示如下：
图1.左边为矩形窗函数，右边为辛格函数(将左边的空域换成频域，右边频域换成空域)
因此凡具有接近窗函数的滤波器，IFT之后，其空域函数形式多少接近sinc函数。sinc是进行图像滤波的主要因素，两边的余波将对图像产生振铃现象。
由卷积定理可将下面两种增强联系起来:
频域增强：
空域卷积：
其中f,g,h分别为输入图像，增强图像，空域滤波函数；F,G,H分别为各自的傅里叶变换。*为卷积符号。
在空间域将低通滤波作为卷积过程来理解的关键是h(x,y)的特性：可将h(x,y)分为两部分：原点处的中心部分，中心周围集中的成周期分布的外围部分。前者决定模糊，后者决定振铃现象。若外围部分有明显的震荡，则g(x,y)会出现振铃。利用傅里叶变换，我们发现，若频域滤波函数具有陡峭变化，则傅里叶逆变换得到的空域滤波函数会在外围出现震荡。
下面给出三个常用的低通滤波器：理想型、巴特沃斯型、高斯型。
并分析他们对用的空域滤波函数的特点，验证上述结论。
理想型：
理想型滤波会出现振铃，可以看出空域滤波函数图像外围有剧烈震荡。
巴特沃斯型：
为阶数，1阶巴特沃斯没有“振铃“，随着阶数增大，振铃现象越发明显。下图取n=2,可以看出空域函数外围部分出现震荡。
高斯型：
高斯函数的傅里叶变换仍然是高斯函数，故高斯型滤波器不会产生“振铃“。
上述图像的生成程序：
- close all;
- clear all;
- d0=8;
- M=60;N=60;
- c1=floor(M/2);
- c2=floor(N/2);
- h1=zeros(M,N); %理想型
- h2=zeros(M,N); %巴特沃斯型
- h3=zeros(M,N); %高斯型
- sigma=4;
- n=4;%巴特沃斯阶数
- for i=1:M
- for j=1:N
- d=sqrt((i-c1)^2+(j-c2)^2);
- if d<=d0
- h1(i,j)=1;
- else
- h1(i,j)=0;
- end
- h2(i,j)=1/(1+(d/d0)^(2*n));
- h3(i,j)=exp(-d^2/(2*sigma^2));
- end
- end
- draw2(h1,‘理想’);
- draw2(h2,‘巴特沃斯’);
- draw2(h3,‘高斯’);
- function draw2(h,name)
- figure;
- surf(h);title(strcat(‘频域’,name));
- fx=abs(ifft2(h));
- fx=fftshift(fx);
- figure;surf(fx);title(strcat(‘空域’,name));
如何理解振铃效应？ – 知乎https://www.zhihu.com/question/
图像处理之—振铃现象 – CSDN博客http://blog.csdn.net/zk_j1994/article/details/
傅立叶变换中的吉布斯现象
吉布斯(Gibbs)现象：将具有不连续点的周期函数（如矩形脉冲)进行傅立叶级数展开后，选取有限项进行合成。当选取的项数越多，在所合成的波形中出现的峰起越靠近原信号的不连续点。当选取的项数很大时，该峰起值趋于一个常数，大约等于总跳变值的9%。吉布斯现象如下图所示。
图1 吉布斯现象示意图
实际上，吉布斯现象最先并不是吉布斯发现的。科学家阿伯特·米切尔森(Albert Michelson)是第一个获得诺贝尔奖的美国人，他以米切尔森-莫利(Michelson-Morley)实验测量光速而闻名于世。但很多人不知道的是，他才是第一个发现吉布斯现象的人。
图2 米切尔森
图3 吉布斯
若用x(t)表示原始信号，xN(t)表示有限项傅立叶级数合成所得的信号，米切尔森所观察到的有趣的现象是方波的xN(t)在不连续点附近部分呈现起伏，这个起伏的峰值大小似乎不随 N 增大而下降!吉布斯证明：情况确实是这样，而且也应该是这样。随着N 增加，部分和的起伏就向不连续点压缩，但是对任何有限的 N 值，起伏的峰值大小保持不变 ，这就是吉布斯现象。
这个现象的含义是：一个不连续信号 x(t) 的傅里叶级数的截断近似 xN(t)，一般来说，在接近不连续点处将呈现高频起伏和超量，而且，若在实际情况下利用这样一个近似式的话，就应该选择足够大的 N ，以保证这些起伏拥有的总能量可以忽略。当然，在极限情况下，近似误差的能量是零，而且一个不连续的信号(如方波)的傅里叶级数表示是收敛的。
发布者：全栈程序员-站长，转载请注明出处：https://javaforall.net/207509.html原文链接：https://javaforall.net
